Математический анализ Примеры

$9 x y \frac{d y}{d x} = 8 y^{2} + 5 x^{2}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $9 x y \frac{d y}{d x} = 8 y^{2} + 5 x^{2}$ на $9 x y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $9 x y \frac{d y}{d x} = 8 y^{2} + 5 x^{2}$ на $9 x y$ .

$\frac{9 x y \frac{d y}{d x}}{9 x y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x y \frac{d y}{d x}}{9 x y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Этап 1.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Этап 1.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Этап 1.1.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Этап 1.1.2.3.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $8 y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (8 y)}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Этап 1.1.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $9 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (8 y)}{y (9 x)} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Этап 1.1.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (8 y)}{y (9 x)} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Этап 1.1.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y}{9 x} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Этап 1.1.3.1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $5 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y}{9 x} + \frac{x (5 x)}{9 x y}$

Этап 1.1.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $9 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y}{9 x} + \frac{x (5 x)}{x (9 y)}$

Этап 1.1.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y}{9 x} + \frac{x (5 x)}{x (9 y)}$

Этап 1.1.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y}{9 x} + \frac{5 x}{9 y}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{8 y}{9 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{8 y}{9 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{8}{9} + \frac{5 x}{9 y}$

Этап 1.2.2

Изменим порядок $\frac{y}{x}$ и $\frac{8}{9}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{9} \cdot \frac{y}{x} + \frac{5 x}{9 y}$

Этап 1.3

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $f (\frac{y}{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $\frac{x}{y}$ из $\frac{5 x}{9 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $\frac{x}{y}$ из $\frac{5 x}{9 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{9} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \cdot \frac{5}{9}$

Этап 1.3.1.2

Изменим порядок $\frac{x}{y}$ и $\frac{5}{9}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{9} \cdot \frac{y}{x} + \frac{5}{9} \cdot \frac{x}{y}$

Этап 1.3.2

Перепишем $\frac{x}{y}$ в виде ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{9} \cdot \frac{y}{x} + \frac{5}{9} {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{9} V + \frac{5}{9} V^{- 1}$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{8}{9} V + \frac{5}{9} V^{- 1}$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Объединим $\frac{8}{9}$ и $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9} V^{- 1}$

Этап 6.1.1.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{V}$

Этап 6.1.1.1.3

Умножим $\frac{5}{9}$ на $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9 V}$

Этап 6.1.1.2

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9 V} - V$

Этап 6.1.1.3

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9 V} - V$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9 V} - V$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{8 V}{9}}{x} + \frac{\frac{5}{9 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{8 V}{9}}{x} + \frac{\frac{5}{9 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{8 V}{9}}{x} + \frac{\frac{5}{9 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{8 V}{9} + \frac{5}{9 V} - V}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2

Чтобы записать $- V$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{8 V}{9} - V \cdot \frac{9}{9}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.3.1

Объединим $- V$ и $\frac{9}{9}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{8 V}{9} + \frac{- V \cdot 9}{9}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{8 V - V \cdot 9}{9}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.3.3.1.1

Вынесем множитель $V$ из $8 V - V \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $V$ из $8 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{V \cdot 8 - V \cdot 9}{9}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Вынесем множитель $V$ из $- V \cdot 9$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{V \cdot 8 + V (- 1 \cdot 9)}{9}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Вынесем множитель $V$ из $V \cdot 8 + V (- 1 \cdot 9)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{V (8 - 1 \cdot 9)}{9}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{V (8 - 9)}{9}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3.3.1.3

Вычтем $9$ из $8$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{V \cdot - 1}{9}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{- 1 \cdot V}{9}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} - \frac{V}{9}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.4.1

Чтобы записать $- \frac{V}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} - \frac{V}{9} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.2

Умножим $\frac{V}{9}$ на $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} - \frac{V \cdot V}{9 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5 - V \cdot V}{9 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.4

Умножим $V$ на $V$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.4.4.1

Перенесем $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5 - (V \cdot V)}{9 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.4.2

Умножим $V$ на $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5 - V^{2}}{9 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d V}{d x} = \frac{5 - V^{2}}{9 V} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.6

Умножим $\frac{5 - V^{2}}{9 V}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{5 - V^{2}}{9 V x}$

Этап 6.1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d V}{d x} = \frac{5 - V^{2}}{9 V} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.3

Умножим обе части на $\frac{9 V}{5 - V^{2}}$ .

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{9 V}{5 - V^{2}} (\frac{5 - V^{2}}{9 V} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Умножим $\frac{5 - V^{2}}{9 V}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{9 V}{5 - V^{2}} \cdot \frac{5 - V^{2}}{9 V x}$

Этап 6.1.4.2

Сократим общий множитель $9 V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.2.1

Вынесем множитель $9 V$ из $9 V x$ .

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{9 V}{5 - V^{2}} \cdot \frac{5 - V^{2}}{9 V (x)}$

Этап 6.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{9 V}{5 - V^{2}} \cdot \frac{5 - V^{2}}{9 V x}$

Этап 6.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{5 - V^{2}} \cdot \frac{5 - V^{2}}{x}$

Этап 6.1.4.3

Сократим общий множитель $5 - V^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{5 - V^{2}} \cdot \frac{5 - V^{2}}{x}$

Этап 6.1.4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 6.1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{9 V}{5 - V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Поскольку $9$ — константа по отношению к $V$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int \frac{V}{5 - V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2

Пусть $u = 5 - V^{2}$ . Тогда $d u = - 2 V d V$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = V d V$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Пусть $u = 5 - V^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d V}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Дифференцируем $5 - V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [5 - V^{2}]$

Этап 6.2.2.2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.2.1

По правилу суммы производная $5 - V^{2}$ по $V$ имеет вид $\frac{d}{d V} [5] + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [5] + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$

Этап 6.2.2.2.1.2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $V$ , производная $5$ относительно $V$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$

Этап 6.2.2.2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d V} [- V^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $V$ , производная $- V^{2}$ по $V$ равна $- \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Этап 6.2.2.2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ имеет вид $n V^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 V)$

Этап 6.2.2.2.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 V$

Этап 6.2.2.2.1.4

Вычтем $2 V$ из $0$ .

$- 2 V$

Этап 6.2.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$9 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$9 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.2

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$9 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.3

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$9 \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$9 (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.5

Умножим $- 1$ на $9$ .

$- 9 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- 9 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 9$ .

$\frac{- 9}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{9}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- \frac{9}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.9

Упростим.

$- \frac{9}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.10

Заменим все вхождения $u$ на $5 - V^{2}$ .

$- \frac{9}{2} \ln (| 5 - V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- \frac{9}{2} \ln (| 5 - V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{9}{2} \ln (| 5 - V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Этап 6.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим обе части уравнения на $- \frac{2}{9}$ .

$- \frac{2}{9} (- \frac{9}{2} \ln (| 5 - V^{2} |)) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Упростим $- \frac{2}{9} (- \frac{9}{2} \ln (| 5 - V^{2} |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Объединим $\ln (| 5 - V^{2} |)$ и $\frac{9}{2}$ .

$- \frac{2}{9} (- \frac{\ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2}) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{9}$ в числитель.

$\frac{- 2}{9} (- \frac{\ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2}) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2}$ в числитель.

$\frac{- 2}{9} \cdot \frac{- \ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2} = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{9} \cdot \frac{- \ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2} = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 1}{9} \cdot \frac{- \ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2} = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{9} (- \ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.3

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.3.1

Вынесем множитель $9$ из $- \ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9$ .

$\frac{- 1}{9} (9 \cdot (- \ln (| 5 - V^{2} |))) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{9} (9 \cdot (- \ln (| 5 - V^{2} |))) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.3.3

Перепишем это выражение.

$- - \ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.4.2

Умножим $\ln (| 5 - V^{2} |)$ на $1$ .

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Упростим $- \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2}{9} \ln (| x |) - \frac{2}{9} C$

Этап 6.3.2.2.1.1.2

Объединим $\ln (| x |)$ и $\frac{2}{9}$ .

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{\ln (| x |) \cdot 2}{9} - \frac{2}{9} C$

Этап 6.3.2.2.1.1.3

Объединим $C$ и $\frac{2}{9}$ .

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{\ln (| x |) \cdot 2}{9} - \frac{C \cdot 2}{9}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.2.1

Перенесем $2$ влево от $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2 \cdot \ln (| x |)}{9} - \frac{C \cdot 2}{9}$

Этап 6.3.2.2.1.2.2

Перенесем $2$ влево от $C$ .

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2 \ln (| x |)}{9} - \frac{2 C}{9}$

Этап 6.3.3

Каждый член в $\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2 \ln (| x |)}{9} - \frac{2 C}{9}$ умножим на $9$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим каждый член $\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2 \ln (| x |)}{9} - \frac{2 C}{9}$ на $9$ .

$\ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9 = - \frac{2 \ln (| x |)}{9} \cdot 9 - \frac{2 C}{9} \cdot 9$

Этап 6.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Перенесем $9$ влево от $\ln (| 5 - V^{2} |)$ .

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2 \ln (| x |)}{9} \cdot 9 - \frac{2 C}{9} \cdot 9$

Этап 6.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.3.1.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.3.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 \ln (| x |)}{9}$ в числитель.

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = \frac{- 2 \ln (| x |)}{9} \cdot 9 - \frac{2 C}{9} \cdot 9$

Этап 6.3.3.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = \frac{- 2 \ln (| x |)}{9} \cdot 9 - \frac{2 C}{9} \cdot 9$

Этап 6.3.3.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = - 2 \ln (| x |) - \frac{2 C}{9} \cdot 9$

Этап 6.3.3.3.1.2

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.3.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 C}{9}$ в числитель.

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = - 2 \ln (| x |) + \frac{- 2 C}{9} \cdot 9$

Этап 6.3.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = - 2 \ln (| x |) + \frac{- 2 C}{9} \cdot 9$

Этап 6.3.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = - 2 \ln (| x |) - 2 C$

Этап 6.3.4

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) + 2 \ln (| x |) = - 2 C$

Этап 6.3.5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.1

Упростим $9 \ln (| 5 - V^{2} |) + 2 \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.1.1.1

Упростим $9 \ln (| 5 - V^{2} |)$ путем переноса $9$ под логарифм.

$\ln ({| 5 - V^{2} |}^{9}) + 2 \ln (| x |) = - 2 C$

Этап 6.3.5.1.1.2

Упростим $2 \ln (| x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln ({| 5 - V^{2} |}^{9}) + \ln ({| x |}^{2}) = - 2 C$

Этап 6.3.5.1.1.3

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln ({| 5 - V^{2} |}^{9}) + \ln (x^{2}) = - 2 C$

Этап 6.3.5.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| 5 - V^{2} |}^{9} x^{2}) = - 2 C$

Этап 6.3.5.1.3

Изменим порядок множителей в $\ln ({| 5 - V^{2} |}^{9} x^{2})$ .

$\ln (x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9}) = - 2 C$

Этап 6.3.6

Чтобы решить относительно $V$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9})} = e^{- 2 C}$

Этап 6.3.7

Перепишем $\ln (x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9}) = - 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9}$

Этап 6.3.8

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9} = e^{- 2 C}$ .

$x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9} = e^{- 2 C}$

Этап 6.3.8.2

Разделим каждый член $x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9} = e^{- 2 C}$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.2.1

Разделим каждый член $x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9} = e^{- 2 C}$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9}}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Этап 6.3.8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9}}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Этап 6.3.8.2.2.1.2

Разделим ${| 5 - V^{2} |}^{9}$ на $1$ .

${| 5 - V^{2} |}^{9} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Этап 6.3.8.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$| 5 - V^{2} | = \sqrt[9]{\frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}$

Этап 6.3.8.4

Упростим $\sqrt[9]{\frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.1

Перепишем $\sqrt[9]{\frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}$ в виде $\frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}}}{\sqrt[9]{x^{2}}}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}}}{\sqrt[9]{x^{2}}}$

Этап 6.3.8.4.2

Умножим $\frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}}}{\sqrt[9]{x^{2}}}$ на $\frac{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}}}{\sqrt[9]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}$

Этап 6.3.8.4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.3.1

Умножим $\frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}}}{\sqrt[9]{x^{2}}}$ на $\frac{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{\sqrt[9]{x^{2}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}$

Этап 6.3.8.4.3.2

Возведем $\sqrt[9]{x^{2}}$ в степень $1$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}$

Этап 6.3.8.4.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{1 + 8}}$

Этап 6.3.8.4.3.4

Добавим $1$ и $8$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{9}}$

Этап 6.3.8.4.3.5

Перепишем ${\sqrt[9]{x^{2}}}^{9}$ в виде $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[9]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{9}}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{(x^{\frac{2}{9}})}^{9}}$

Этап 6.3.8.4.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{2}{9} \cdot 9}}$

Этап 6.3.8.4.3.5.3

Объединим $\frac{2}{9}$ и $9$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{2 \cdot 9}{9}}}$

Этап 6.3.8.4.3.5.4

Умножим $2$ на $9$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{18}{9}}}$

Этап 6.3.8.4.3.5.5

Сократим общий множитель $18$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.3.5.5.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{9 \cdot 2}{9}}}$

Этап 6.3.8.4.3.5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.3.5.5.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{9 \cdot 2}{9 (1)}}}$

Этап 6.3.8.4.3.5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 1}}}$

Этап 6.3.8.4.3.5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{2}{1}}}$

Этап 6.3.8.4.3.5.5.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{2}}$

Этап 6.3.8.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.4.1

Перепишем ${\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}$ в виде $\sqrt[9]{{(x^{2})}^{8}}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} \sqrt[9]{{(x^{2})}^{8}}}{x^{2}}$

Этап 6.3.8.4.4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} \sqrt[9]{x^{2 \cdot 8}}}{x^{2}}$

Этап 6.3.8.4.4.2.2

Умножим $2$ на $8$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} \sqrt[9]{x^{16}}}{x^{2}}$

Этап 6.3.8.4.4.3

Вынесем $x^{9}$ за скобки.

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} \sqrt[9]{x^{9} x^{7}}}{x^{2}}$

Этап 6.3.8.4.4.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} x \sqrt[9]{x^{7}}}{x^{2}}$

Этап 6.3.8.4.4.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$| 5 - V^{2} | = \frac{x \sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x^{2}}$

Этап 6.3.8.4.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.5.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x \sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{x \sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x^{2}}$

Этап 6.3.8.4.5.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.5.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{x \sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x \cdot x}$

Этап 6.3.8.4.5.1.2.2

Сократим общий множитель.

$| 5 - V^{2} | = \frac{x \sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x \cdot x}$

Этап 6.3.8.4.5.1.2.3

Перепишем это выражение.

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x}$

Этап 6.3.8.4.5.2

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}$

Этап 6.3.8.5

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$5 - V^{2} = \pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}$

Этап 6.3.8.6

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- V^{2} = \pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x} - 5$

Этап 6.3.8.7

Разделим каждый член $- V^{2} = \pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x} - 5$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.7.1

Разделим каждый член $- V^{2} = \pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x} - 5$ на $- 1$ .

$\frac{- V^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Этап 6.3.8.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.7.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{V^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Этап 6.3.8.7.2.2

Разделим $V^{2}$ на $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Этап 6.3.8.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.7.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}}{- 1}$ .

$V^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}) + \frac{- 5}{- 1}$

Этап 6.3.8.7.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x})$ в виде $- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x})$ .

$V^{2} = - (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}) + \frac{- 5}{- 1}$

Этап 6.3.8.7.3.1.3

Разделим $- 5$ на $- 1$ .

$V^{2} = - (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}) + 5$

Этап 6.3.8.8

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$V = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}) + 5}$

Этап 6.4

Упростим постоянную интегрирования.

$V = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}$

Этап 8

Решим $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}) x$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}) x$

Этап 8.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (\pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}) x$