Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x} \cdot e^{2 y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{e^{2 y}}$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{3 x} \cdot e^{2 y})$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $e^{2 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $e^{2 y}$ из $e^{3 x} \cdot e^{2 y}$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{2 y} (e^{3 x - 2 y} \cdot e^{2 y}))$

Этап 1.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{2 y} (e^{3 x - 2 y} \cdot e^{2 y}))$

Этап 1.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x - 2 y} \cdot e^{2 y}$

Этап 1.2.2

Умножим $e^{3 x - 2 y}$ на $e^{2 y}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x - 2 y + 2 y}$

Этап 1.2.2.2

Объединим противоположные члены в $3 x - 2 y + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Добавим $- 2 y$ и $2 y$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x + 0}$

Этап 1.2.2.2.2

Добавим $3 x$ и $0$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{e^{2 y}} d y = e^{3 x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{e^{2 y}} d y = \int e^{3 x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Поменяем знак экспоненты $e^{2 y}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\int 1 {(e^{2 y})}^{- 1} d y = \int e^{3 x} d x$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{2 y})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{2 y \cdot - 1} d y = \int e^{3 x} d x$

Этап 2.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\int 1 e^{- 2 y} d y = \int e^{3 x} d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $e^{- 2 y}$ на $1$ .

$\int e^{- 2 y} d y = \int e^{3 x} d x$

Этап 2.2.2

Пусть $u_{1} = - 2 y$ . Тогда $d u_{1} = - 2 d y$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Пусть $u_{1} = - 2 y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Дифференцируем $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Этап 2.2.2.1.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $y$ , производная $- 2 y$ по $y$ равна $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 2.2.2.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 2.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

Этап 2.2.3.2

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

Этап 2.2.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

Этап 2.2.5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) = \int e^{3 x} d x$

Этап 2.2.6

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int e^{3 x} d x$

Этап 2.2.7

Упростим.

$- \frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int e^{3 x} d x$

Этап 2.2.8

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- 2 y$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int e^{3 x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u_{2} = 3 x$ . Тогда $d u_{2} = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u_{2} = 3 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 2.3.1.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 2.3.1.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2}$

Этап 2.3.2

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.4

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} e^{3 x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y}) = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $e^{- 2 y}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{2}) = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{- 2 y}}{2}$ в числитель.

$- 2 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$- - e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Этап 3.2.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Этап 3.2.1.1.3.2

Умножим $e^{- 2 y}$ на $1$ .

$e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $- 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{3 x}$ .

$e^{- 2 y} = - 2 (\frac{e^{3 x}}{3} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- 2 y} = - 2 \frac{e^{3 x}}{3} - 2 K$

Этап 3.2.2.1.3

Объединим $- 2$ и $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{- 2 y} = \frac{- 2 e^{3 x}}{3} - 2 K$

Этап 3.2.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- 2 y} = - \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K$

Этап 3.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- 2 y}) = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

Этап 3.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Развернем $\ln (e^{- 2 y})$ , вынося $- 2 y$ из логарифма.

$- 2 y \ln (e) = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

Этап 3.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$- 2 y \cdot 1 = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

Этап 3.4.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 y = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

Этап 3.5

Разделим каждый член $- 2 y = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $- 2 y = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{- 2}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{- 2}$

Этап 3.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{- 2}$

Этап 3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{2}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} + K)}{2}$