Математический анализ Примеры

$\frac{d u}{d t} = e^{4 u + 6 t}$

Этап 1

Пусть $v = e^{4 u + 6 t}$ . Подставим $v$ вместо $e^{4 u + 6 t}$ для всех.

$\frac{d u}{d t} = v$

Этап 2

Найдем $\frac{d v}{d t}$ , дифференцируя $e^{4 u + 6 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = 4 u + 6 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 u + 6 t$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [4 u + 6 t]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [4 u + 6 t]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 u + 6 t$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{4 u + 6 t} \frac{d}{d t} [4 u + 6 t]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $4 u + 6 t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [4 u] + \frac{d}{d t} [6 t]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{4 u + 6 t} (\frac{d}{d t} [4 u] + \frac{d}{d t} [6 t])$

Этап 2.3

Поскольку $4$ является константой относительно $t$ , производная $4 u$ по $t$ равна $4 \frac{d}{d t} [u]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{4 u + 6 t} (4 \frac{d}{d t} [u] + \frac{d}{d t} [6 t])$

Этап 2.4

Перепишем $\frac{d}{d t} [u]$ в виде $u'$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{4 u + 6 t} (4 u' + \frac{d}{d t} [6 t])$

Этап 2.5

Поскольку $6$ является константой относительно $t$ , производная $6 t$ по $t$ равна $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{4 u + 6 t} (4 u' + 6 \frac{d}{d t} [t])$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{4 u + 6 t} (4 u' + 6 \cdot 1)$

Этап 2.7

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{4 u + 6 t} (4 u' + 6)$

Этап 3

Подставим $v$ вместо $e^{4 u + 6 t}$ .

$\frac{d v}{d t} = v (4 u' + 6)$

Этап 4

Подставим производную обратно в дифференциальное уравнение.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{4 v} - \frac{3}{2} = v$

Этап 5

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Решим относительно $\frac{d v}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Добавим $\frac{3}{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{4 v} = v + \frac{3}{2}$

Этап 5.1.2

Умножим обе части на $4 v$ .

$\frac{\frac{d v}{d t}}{4 v} (4 v) = (v + \frac{3}{2}) (4 v)$

Этап 5.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Упростим $\frac{\frac{d v}{d t}}{4 v} (4 v)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \frac{\frac{d v}{d t}}{4 v} v = (v + \frac{3}{2}) (4 v)$

Этап 5.1.3.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 v$ .

$4 \frac{\frac{d v}{d t}}{4 v} v = (v + \frac{3}{2}) (4 v)$

Этап 5.1.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$4 \frac{\frac{d v}{d t}}{4 v} v = (v + \frac{3}{2}) (4 v)$

Этап 5.1.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v + \frac{3}{2}) (4 v)$

Этап 5.1.3.1.1.3

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v + \frac{3}{2}) (4 v)$

Этап 5.1.3.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d t} = (v + \frac{3}{2}) (4 v)$

Этап 5.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1

Упростим $(v + \frac{3}{2}) (4 v)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d v}{d t} = v (4 v) + \frac{3}{2} (4 v)$

Этап 5.1.3.2.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d v}{d t} = 4 v \cdot v + \frac{3}{2} (4 v)$

Этап 5.1.3.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4 v$ .

$\frac{d v}{d t} = 4 v \cdot v + \frac{3}{2} (2 (2 v))$

Этап 5.1.3.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d t} = 4 v \cdot v + \frac{3}{2} (2 (2 v))$

Этап 5.1.3.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d t} = 4 v \cdot v + 3 (2 v)$

Этап 5.1.3.2.1.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{d v}{d t} = 4 v \cdot v + 6 v$

Этап 5.1.3.2.1.5

Умножим $v$ на $v$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1.5.1

Перенесем $v$ .

$\frac{d v}{d t} = 4 (v \cdot v) + 6 v$

Этап 5.1.3.2.1.5.2

Умножим $v$ на $v$ .

$\frac{d v}{d t} = 4 v^{2} + 6 v$

Этап 5.2

Умножим обе части на $\frac{1}{4 v^{2} + 6 v}$ .

$\frac{1}{4 v^{2} + 6 v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{4 v^{2} + 6 v} (4 v^{2} + 6 v)$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $4 v^{2} + 6 v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 v^{2} + 6 v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{4 v^{2} + 6 v} (4 v^{2} + 6 v)$

Этап 5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4 v^{2} + 6 v} \frac{d v}{d t} = 1$

Этап 5.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{4 v^{2} + 6 v} d v = 1 d t$

Этап 6

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{4 v^{2} + 6 v} d v = \int d t$

Этап 6.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Вынесем множитель $2 v$ из $4 v^{2} + 6 v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1.1

Вынесем множитель $2 v$ из $4 v^{2}$ .

$\frac{1}{2 v (2 v) + 6 v}$

Этап 6.2.1.1.1.2

Вынесем множитель $2 v$ из $6 v$ .

$\frac{1}{2 v (2 v) + 2 v \cdot 3}$

Этап 6.2.1.1.1.3

Вынесем множитель $2 v$ из $2 v (2 v) + 2 v \cdot 3$ .

$\frac{1}{2 v (2 v + 3)}$

Этап 6.2.1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{2 v + 3}$

Этап 6.2.1.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $2 v (2 v + 3)$ .

$\frac{1 (2 v (2 v + 3))}{2 v (2 v + 3)} = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Этап 6.2.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (2 v (2 v + 3))}{2 v (2 v + 3)} = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Этап 6.2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (v (2 v + 3))}{v (2 v + 3)} = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Этап 6.2.1.1.5

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (v (2 v + 3))}{v (2 v + 3)} = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Этап 6.2.1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (2 v + 3)}{2 v + 3} = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Этап 6.2.1.1.6

Сократим общий множитель $2 v + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (2 v + 3)}{2 v + 3} = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Этап 6.2.1.1.6.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Этап 6.2.1.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.7.1

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Этап 6.2.1.1.7.1.2

Разделим $A (2 (2 v + 3))$ на $1$ .

$1 = A (2 (2 v + 3)) + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Этап 6.2.1.1.7.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 2 A (2 v + 3) + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Этап 6.2.1.1.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = 2 A (2 v) + 2 A \cdot 3 + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Этап 6.2.1.1.7.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 2 \cdot (2 A v) + 2 A \cdot 3 + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Этап 6.2.1.1.7.5

Умножим $3$ на $2$ .

$1 = 2 \cdot (2 A v) + 6 A + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Этап 6.2.1.1.7.6

Умножим $2$ на $2$ .

$1 = 4 A v + 6 A + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Этап 6.2.1.1.7.7

Сократим общий множитель $2 v + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.7.7.1

Сократим общий множитель.

$1 = 4 A v + 6 A + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Этап 6.2.1.1.7.7.2

Разделим $B (2 v)$ на $1$ .

$1 = 4 A v + 6 A + B (2 v)$

Этап 6.2.1.1.7.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 4 A v + 6 A + 2 B v$

Этап 6.2.1.1.8

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.8.1

Перенесем $A$ .

$1 = 4 v A + 6 A + 2 B v$

Этап 6.2.1.1.8.2

Перенесем $B$ .

$1 = 4 v A + 6 A + 2 v B$

Этап 6.2.1.1.8.3

Перенесем $6 A$ .

$1 = 4 v A + 2 v B + 6 A$

Этап 6.2.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $v$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = 4 A + 2 B$

Этап 6.2.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $v$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = 6 A$

Этап 6.2.1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = 4 A + 2 B$

$1 = 6 A$

$0 = 4 A + 2 B$

$1 = 6 A$

Этап 6.2.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = 6 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $6 A = 1$ .

$6 A = 1$

$0 = 4 A + 2 B$

Этап 6.2.1.3.1.2

Разделим каждый член $6 A = 1$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1.2.1

Разделим каждый член $6 A = 1$ на $6$ .

$\frac{6 A}{6} = \frac{1}{6}$

$0 = 4 A + 2 B$

Этап 6.2.1.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 A}{6} = \frac{1}{6}$

$0 = 4 A + 2 B$

Этап 6.2.1.3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{6}$

$0 = 4 A + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = 4 A + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = 4 A + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = 4 A + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = 4 A + 2 B$

Этап 6.2.1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $\frac{1}{6}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = 4 A + 2 B$ на $\frac{1}{6}$ .

$0 = 4 (\frac{1}{6}) + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

Этап 6.2.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$0 = 2 (2) (\frac{1}{6}) + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

Этап 6.2.1.3.2.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$0 = 2 \cdot (2 (\frac{1}{2 \cdot 3})) + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

Этап 6.2.1.3.2.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$0 = 2 \cdot (2 (\frac{1}{2 \cdot 3})) + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

Этап 6.2.1.3.2.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$0 = 2 (\frac{1}{3}) + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = 2 (\frac{1}{3}) + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

Этап 6.2.1.3.2.2.1.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$0 = \frac{2}{3} + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = \frac{2}{3} + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = \frac{2}{3} + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = \frac{2}{3} + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

Этап 6.2.1.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = \frac{2}{3} + 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{2}{3} + 2 B = 0$ .

$\frac{2}{3} + 2 B = 0$

$A = \frac{1}{6}$

Этап 6.2.1.3.3.2

Вычтем $\frac{2}{3}$ из обеих частей уравнения.

$2 B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{6}$

Этап 6.2.1.3.3.3

Разделим каждый член $2 B = - \frac{2}{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.3.3.1

Разделим каждый член $2 B = - \frac{2}{3}$ на $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

Этап 6.2.1.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 B}{2} = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

Этап 6.2.1.3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

Этап 6.2.1.3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.3.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$B = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

Этап 6.2.1.3.3.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.3.3.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{3}$ в числитель.

$B = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

Этап 6.2.1.3.3.3.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$B = \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

Этап 6.2.1.3.3.3.3.2.3

Сократим общий множитель.

$B = \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

Этап 6.2.1.3.3.3.3.2.4

Перепишем это выражение.

$B = \frac{- 1}{3}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = \frac{- 1}{3}$

$A = \frac{1}{6}$

Этап 6.2.1.3.3.3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{6}$

Этап 6.2.1.3.4

Решим систему уравнений.

$B = - \frac{1}{3} A = \frac{1}{6}$

Этап 6.2.1.3.5

Перечислим все решения.

$B = - \frac{1}{3}, A = \frac{1}{6}$

Этап 6.2.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{v} + \frac{B}{2 v + 3}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{1}{6}}{v} + \frac{- \frac{1}{3}}{2 v + 3}$

Этап 6.2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{v} + \frac{- \frac{1}{3}}{2 v + 3}$

Этап 6.2.1.5.2

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{6 v} + \frac{- \frac{1}{3}}{2 v + 3}$

Этап 6.2.1.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{6 v} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2 v + 3}$

Этап 6.2.1.5.4

Умножим $\frac{1}{2 v + 3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{6 v} - \frac{1}{(2 v + 3) \cdot 3}$

Этап 6.2.1.5.5

Перенесем $3$ влево от $2 v + 3$ .

$\int \frac{1}{6 v} - \frac{1}{3 (2 v + 3)} d v = \int d t$

Этап 6.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{6 v} d v + \int - \frac{1}{3 (2 v + 3)} d v = \int d t$

Этап 6.2.3

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $v$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{1}{3 (2 v + 3)} d v = \int d t$

Этап 6.2.4

Интеграл $\frac{1}{v}$ по $v$ имеет вид $\ln (| v |)$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) + \int - \frac{1}{3 (2 v + 3)} d v = \int d t$

Этап 6.2.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $v$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \int \frac{1}{3 (2 v + 3)} d v = \int d t$

Этап 6.2.6

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $v$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{2 v + 3} d v) = \int d t$

Этап 6.2.7

Пусть $u_{2} = 2 v + 3$ . Тогда $d u_{2} = 2 d v$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d v$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Пусть $u_{2} = 2 v + 3$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1.1

Дифференцируем $2 v + 3$ .

$\frac{d}{d v} [2 v + 3]$

Этап 6.2.7.1.2

По правилу суммы производная $2 v + 3$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [3]$ .

$\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [3]$

Этап 6.2.7.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d v} [2 v]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $v$ , производная $2 v$ по $v$ равна $2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$2 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [3]$

Этап 6.2.7.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [3]$

Этап 6.2.7.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d v} [3]$

Этап 6.2.7.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $v$ , производная $3$ относительно $v$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 6.2.7.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 6.2.7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} = \int d t$

Этап 6.2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int d t$

Этап 6.2.8.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Этап 6.2.9

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d t$

Этап 6.2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.10.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Этап 6.2.10.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Этап 6.2.11

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d t$

Этап 6.2.12

Упростим.

$\frac{1}{6} \ln (| v |) - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

Этап 6.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{6} \ln (| v |) - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = t + C_{4}$

Этап 6.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{6} \ln (| v |) - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) = t + C$

Этап 7

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $\ln (| v |)$ .

$\frac{\ln (| v |)}{6} - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) = t + C$

Этап 7.1.1.2

Объединим $\ln (| u_{2} |)$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{\ln (| v |)}{6} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{6} = t + C$

Этап 7.2

Каждый член в $\frac{\ln (| v |)}{6} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{6} = t + C$ умножим на $6$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим каждый член $\frac{\ln (| v |)}{6} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{6} = t + C$ на $6$ .

$\frac{\ln (| v |)}{6} \cdot 6 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{6} \cdot 6 = t \cdot 6 + C \cdot 6$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (| v |)}{6} \cdot 6 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{6} \cdot 6 = t \cdot 6 + C \cdot 6$

Этап 7.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| v |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{6} \cdot 6 = t \cdot 6 + C \cdot 6$

Этап 7.2.2.1.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| u_{2} |)}{6}$ в числитель.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{6} \cdot 6 = t \cdot 6 + C \cdot 6$

Этап 7.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{6} \cdot 6 = t \cdot 6 + C \cdot 6$

Этап 7.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = t \cdot 6 + C \cdot 6$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Перенесем $6$ влево от $t$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 6 \cdot t + C \cdot 6$

Этап 7.2.3.1.2

Перенесем $6$ влево от $C$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 6 t + 6 C$

Этап 7.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 6 t + 6 C$

Этап 7.4

Чтобы решить относительно $v$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{6 t + 6 C}$

Этап 7.5

Перепишем $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 6 t + 6 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{6 t + 6 C} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

Этап 7.6

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{6 t + 6 C}$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{6 t + 6 C}$

Этап 7.6.2

Умножим обе части на $| u_{2} |$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{6 t + 6 C} | u_{2} |$

Этап 7.6.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.3.1

Сократим общий множитель $| u_{2} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{6 t + 6 C} | u_{2} |$

Этап 7.6.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| v | = e^{6 t + 6 C} | u_{2} |$

Этап 7.6.4

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{6 t + 6 C} | u_{2} |$ .

$| v | = | u_{2} | e^{6 t + 6 C}$

Этап 7.6.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$v = \pm | u_{2} | e^{6 t + 6 C}$

Этап 8

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим постоянную интегрирования.

$v = \pm | u_{2} | e^{6 t + C}$

Этап 8.2

Перепишем $e^{6 t + C}$ в виде $e^{6 t} e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{6 t} e^{C})$

Этап 8.3

Изменим порядок $e^{6 t}$ и $e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{6 t})$

Этап 8.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$v = C | u_{2} | e^{6 t}$

Этап 9

Заменим все вхождения $v$ на $e^{4 u + 6 t}$ .

$e^{4 u + 6 t} = C | u_{2} | e^{6 t}$