Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - y = 4$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - 1 d x}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{- x + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- x}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} \cdot 4$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} \cdot 4$

Этап 2.3

Перенесем $4$ влево от $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 4 \cdot e^{- x}$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 4 e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = 4 e^{- x}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = 4 e^{- x}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int 4 e^{- x} d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- x} y = \int 4 e^{- x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$e^{- x} y = 4 \int e^{- x} d x$

Этап 6.2

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 6.2.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 6.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{- x} y = 4 \int - e^{u} d u$

Этап 6.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- x} y = 4 (- \int e^{u} d u)$

Этап 6.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e^{- x} y = - 4 \int e^{u} d u$

Этап 6.5

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{- x} y = - 4 (e^{u} + C)$

Этап 6.6

Упростим.

$e^{- x} y = - 4 e^{u} + C$

Этап 6.7

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$e^{- x} y = - 4 e^{- x} + C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{- x} y = - 4 e^{- x} + C$ на $e^{- x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{- x} y = - 4 e^{- x} + C$ на $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- 4 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- 4 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 4 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Сократим общий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{- 4 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 7.3.1.2

Разделим $- 4$ на $1$ .

$y = - 4 + \frac{C}{e^{- x}}$