Математический анализ Примеры

$(e^{x} + 2 x e^{- y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = e^{x} + 2 x e^{- y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} + 2 x e^{- y}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $e^{x} + 2 x e^{- y}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$

Этап 1.2.2

Поскольку $e^{x}$ является константой относительно $y$ , производная $e^{x}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x e^{- y}$ по $y$ равна $2 x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = e^{y}$ и $g (y) = - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y])$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{u} \frac{d}{d y} [- y])$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])$

Этап 1.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} (- 1 \cdot 1))$

Этап 1.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} \cdot - 1)$

Этап 1.3.6

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (- 1 \cdot e^{- y})$

Этап 1.3.7

Перепишем $- 1 e^{- y}$ в виде $- e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (- e^{- y})$

Этап 1.3.8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x e^{- y}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вычтем $2 x e^{- y}$ из $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x e^{- y}$

Этап 1.4.2

Изменим порядок множителей в $- 2 x e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 e^{- y} x$

Этап 1.4.3

Изменим порядок множителей в $- 2 e^{- y} x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x e^{- y}$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = e^{x} + e^{- y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- y}]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $e^{x} + e^{- y}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $e^{- y}$ является константой относительно $x$ , производная $e^{- y}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x}$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 2 x e^{- y}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $e^{x}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x e^{- y} = e^{x}$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$- 2 x e^{- y} = e^{x}$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $e^{x}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{e^{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $- 2 x e^{- y}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{e^{x} - (- 2 x e^{- y})}{M}$

Этап 4.3

Подставим $e^{x} + 2 x e^{- y}$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $e^{x} + 2 x e^{- y}$ вместо $M$ .

$\frac{e^{x} - (- 2 x e^{- y})}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

Этап 4.3.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{e^{x} + 2 x e^{- y}}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

Этап 4.3.3

Подставим $e^{x} + 2 x e^{- y}$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x} + 2 x e^{- y}}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$1$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$μ (x, y) = e^{y + C}$

Этап 5.2

Упростим.

$μ (x, y) = e^{y} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(e^{x} + 2 x e^{- y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $e^{x} + 2 x e^{- y}$ на $e^{y}$ .

$(e^{x} + 2 x e^{- y}) e^{y} d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(e^{x} e^{y} + 2 x e^{- y} e^{y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Этап 6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(e^{x + y} + 2 x e^{- y} e^{y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $e^{- y}$ на $e^{y}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перенесем $e^{y}$ .

$(e^{x + y} + 2 x (e^{y} e^{- y})) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Этап 6.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(e^{x + y} + 2 x e^{y - y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Этап 6.4.3

Вычтем $y$ из $y$ .

$(e^{x + y} + 2 x e^{0}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Этап 6.5

Упростим $2 x e^{0}$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Этап 6.6

Умножим $e^{x} + e^{- y}$ на $e^{y}$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} + e^{- y}) e^{y} d y = 0$

Этап 6.7

Применим свойство дистрибутивности.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} e^{y} + e^{- y} e^{y}) d y = 0$

Этап 6.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{- y} e^{y}) d y = 0$

Этап 6.9

Умножим $e^{- y}$ на $e^{y}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{- y + y}) d y = 0$

Этап 6.9.2

Добавим $- y$ и $y$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{0}) d y = 0$

Этап 6.10

Упростим $e^{0}$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + 1) d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x + y} + 1 d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = e^{x + y} + 1$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int e^{x + y} d y + \int d y$

Этап 8.2

Пусть $u = x + y$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Пусть $u = x + y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Дифференцируем $x + y$ .

$\frac{d}{d y} [x + y]$

Этап 8.2.1.2

По правилу суммы производная $x + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 8.2.1.3

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 8.2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 8.2.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 8.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$f (x, y) = \int e^{u} d u + \int d y$

Этап 8.3

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C + \int d y$

Этап 8.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = e^{u} + C + y + C$

Этап 8.5

Упростим.

$f (x, y) = e^{u} + y + C$

Этап 8.6

Заменим все вхождения $u$ на $x + y$ .

$f (x, y) = e^{x + y} + y + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x + y} + y + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x + y} + 2 x$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x + y} + y + g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $e^{x + y} + y + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Этап 11.3.1.2

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Этап 11.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + y$ .

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Этап 11.3.2

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Этап 11.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Этап 11.3.4

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{x + y} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Этап 11.3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Этап 11.3.6

Умножим $e^{x + y}$ на $1$ .

$e^{x + y} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Этап 11.4

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{x + y} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Этап 11.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{x + y} + 0 + \frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x$

Этап 11.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Добавим $e^{x + y}$ и $0$ .

$e^{x + y} + \frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x$

Этап 11.6.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + e^{x + y} = e^{x + y} + 2 x$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $e^{x + y}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x - e^{x + y}$

Этап 12.1.2

Объединим противоположные члены в $e^{x + y} + 2 x - e^{x + y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Вычтем $e^{x + y}$ из $e^{x + y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 0$

Этап 12.1.2.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

Этап 13

Найдем первообразную $2 x$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x d x$

Этап 13.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$g (x) = 2 \int x d x$

Этап 13.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 13.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 13.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Этап 13.5.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Этап 13.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$g (x) = 1 x^{2} + C$

Этап 13.5.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$g (x) = x^{2} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = e^{x + y} + y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x + y} + y + x^{2} + C$