Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x - 1$ , $f (0) = - 3$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (x^{4} - x^{3} + x - 1) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int x^{4} - x^{3} + x - 1 d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int x^{4} - x^{3} + x - 1 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int x^{4} d x + \int - x^{3} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \int - x^{3} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - \int x^{3} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int x d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 1 d x$

Этап 2.3.6

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 1 d x$

Этап 2.3.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5}$

Этап 2.3.8

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $- 3$ вместо $y$ в $y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + K$ .

$- 3 = \frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$ .

$\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Этап 4.2

Упростим $\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot 0 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Этап 4.2.1.2

Умножим $\frac{1}{5}$ на $0$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Этап 4.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Этап 4.2.1.4

Умножим $- \frac{1}{4} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Этап 4.2.1.4.2

Умножим $0$ на $\frac{1}{4}$ .

$0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Этап 4.2.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 - 0 + K = - 3$

Этап 4.2.1.6

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$0 + 0 + 0 - 0 + K = - 3$

Этап 4.2.1.7

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 + K = - 3$

Этап 4.2.2

Объединим противоположные члены в $0 + 0 + 0 + 0 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0 + 0 + K = - 3$

Этап 4.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0 + K = - 3$

Этап 4.2.2.3

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + K = - 3$

Этап 4.2.2.4

Добавим $0$ и $K$ .

$K = - 3$

Этап 5

Подставим $- 3$ вместо $K$ в $y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 3$ вместо $K$ .

$y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x - 3$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x - 3$

Этап 5.2.2

Объединим $x^{4}$ и $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x - 3$

Этап 5.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} - x - 3$