Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x f (x) - 16 (f x)}{x^{17}}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y - 16 (f x)}{x^{17}}$

Этап 2

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разобьем дробь $\frac{x y - 16 (f x)}{x^{17}}$ на две дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{17}} + \frac{- 16 (f x)}{x^{17}}$

Этап 2.1.2

Вычтем $\frac{x y}{x^{17}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y}{x^{17}} = \frac{- 16 (f x)}{x^{17}}$

Этап 2.2

Перепишем уравнение с изолированными коэффициентами.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y}{x^{17}} = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Этап 2.3

Вынесем множитель $y$ из $- \frac{x y}{x^{17}}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{x}{x^{17}}) = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Этап 2.4

Изменим порядок $y$ и $- \frac{x}{x^{17}}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x}{x^{17}} y = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Этап 3

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - \frac{x}{x^{17}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - \frac{x}{x^{17}} d x}$

Этап 3.2

Проинтегрируем $- \frac{x}{x^{17}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{17}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$e^{\int - \frac{x^{1}}{x^{17}} d x}$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x^{17}} d x}$

Этап 3.2.1.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{17}$ .

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} d x}$

Этап 3.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} d x}$

Этап 3.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$e^{\int - \frac{1}{x^{16}} d x}$

Этап 3.2.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{1}{x^{16}} d x}$

Этап 3.2.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем $x^{16}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$e^{- \int {(x^{16})}^{- 1} d x}$

Этап 3.2.3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{16})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- \int x^{16 \cdot - 1} d x}$

Этап 3.2.3.2.2

Умножим $16$ на $- 1$ .

$e^{- \int x^{- 16} d x}$

Этап 3.2.4

По правилу степени интеграл $x^{- 16}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{15} x^{- 15}$ .

$e^{- (- \frac{1}{15} x^{- 15} + C)}$

Этап 3.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1.1

Объединим $x^{- 15}$ и $\frac{1}{15}$ .

$e^{- (- \frac{x^{- 15}}{15} + C)}$

Этап 3.2.5.1.2

Перенесем $x^{- 15}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- (- \frac{1}{15 x^{15}} + C)}$

Этап 3.2.5.2

Упростим.

$e^{- - \frac{1}{15 x^{15}} + C}$

Этап 3.2.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{1 \frac{1}{15 x^{15}} + C}$

Этап 3.2.5.3.2

Умножим $\frac{1}{15 x^{15}}$ на $1$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}} + C}$

Этап 3.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$

Этап 4

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждый член на $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (- \frac{x}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{17}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x^{1}}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Этап 4.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Этап 4.2.2.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{17}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Этап 4.2.2.3.2

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Этап 4.2.2.3.3

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{1}{x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Этап 4.2.3

Объединим $\frac{1}{x^{16}}$ и $y$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{y}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Этап 4.2.4

Объединим $\frac{y}{x^{16}}$ и $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $x$ и $x^{17}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $x$ из $- 16 f x$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x^{17}}$

Этап 4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{17}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x \cdot x^{16}}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x \cdot x^{16}}$

Этап 4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f}{x^{16}}$

Этап 4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (- \frac{16 f}{x^{16}})$

Этап 4.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{16 f}{x^{16}}$

Этап 4.6

Объединим $\frac{16 f}{x^{16}}$ и $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}}$

Этап 5

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y] = - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}}$

Этап 6

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y] d x = \int - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

Этап 7

Проинтегрируем левую часть.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = \int - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

Этап 8

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - \int \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

Этап 8.2

Поскольку $16 f$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $16 f$ из-под знака интеграла.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - (16 f \int \frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x)$

Этап 8.3

Умножим $16$ на $- 1$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f \int \frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

Этап 8.4

Пусть $u = \frac{1}{15 x^{15}}$ . Тогда $d u = - \frac{1}{x^{16}} d x$ , следовательно $- d u = \frac{1}{x^{16}} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Пусть $u = \frac{1}{15 x^{15}}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Дифференцируем $\frac{1}{15 x^{15}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{15 x^{15}}]$

Этап 8.4.1.2

Поскольку $\frac{1}{15}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{15 x^{15}}$ по $x$ равна $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{15}}]$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{15}}]$

Этап 8.4.1.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.3.1

Перепишем $\frac{1}{x^{15}}$ в виде ${(x^{15})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [{(x^{15})}^{- 1}]$

Этап 8.4.1.3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{15})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{15 \cdot - 1}]$

Этап 8.4.1.3.2.2

Умножим $15$ на $- 1$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{- 15}]$

Этап 8.4.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 15$ .

$\frac{1}{15} (- 15 x^{- 16})$

Этап 8.4.1.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.5.1

Объединим $- 15$ и $\frac{1}{15}$ .

$\frac{- 15}{15} x^{- 16}$

Этап 8.4.1.5.2

Объединим $\frac{- 15}{15}$ и $x^{- 16}$ .

$\frac{- 15 x^{- 16}}{15}$

Этап 8.4.1.5.3

Перенесем $x^{- 16}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 15}{15 x^{16}}$

Этап 8.4.1.5.4

Сократим общий множитель $- 15$ и $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.5.4.1

Вынесем множитель $15$ из $- 15$ .

$\frac{15 \cdot - 1}{15 x^{16}}$

Этап 8.4.1.5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.5.4.2.1

Вынесем множитель $15$ из $15 x^{16}$ .

$\frac{15 \cdot - 1}{15 (x^{16})}$

Этап 8.4.1.5.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{15 \cdot - 1}{15 x^{16}}$

Этап 8.4.1.5.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{x^{16}}$

Этап 8.4.1.5.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{x^{16}}$

Этап 8.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f \int - e^{u} d u$

Этап 8.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f (- \int e^{u} d u)$

Этап 8.6

Умножим $- 1$ на $- 16$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f \int e^{u} d u$

Этап 8.7

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f (e^{u} + C)$

Этап 8.8

Упростим.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{u} + C$

Этап 8.9

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1}{15 x^{15}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$

Этап 9

Разделим каждый член $e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$ на $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим каждый член $e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$ на $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$\frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

Этап 9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

Этап 9.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

Этап 9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сократим общий множитель $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

Этап 9.3.1.2

Разделим $16 f$ на $1$ .

$y = 16 f + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$