Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y + x^{2} y}{x - 4 x y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $y$ из $3 y + x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $3 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 3 + x^{2} y}{x - 4 x y}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 3 + y x^{2}}{x - 4 x y}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 3 + y x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (3 + x^{2})}{x - 4 x y}$

Этап 1.1.4

Умножим $y$ на $3 + x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x - 4 x y}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $x$ из $x - 4 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x^{1} - 4 x y}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x \cdot 1 - 4 x y}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x \cdot 1 + x (- 4 y)}$

Этап 1.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (- 4 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x \cdot (1 - 4 y)}$

Этап 1.2.5

Умножим $x$ на $1 - 4 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x (1 - 4 y)}$

Этап 1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 - 4 y} \cdot \frac{3 + x^{2}}{x}$

Этап 1.4

Умножим обе части на $\frac{1 - 4 y}{y}$ .

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} (\frac{y}{1 - 4 y} \cdot \frac{3 + x^{2}}{x})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $\frac{y}{1 - 4 y}$ на $\frac{3 + x^{2}}{x}$ .

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{(1 - 4 y) x}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $1 - 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $1 - 4 y$ из $(1 - 4 y) x$ .

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{(1 - 4 y) (x)}$

Этап 1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{(1 - 4 y) x}$

Этап 1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{x}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{x}$

Этап 1.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{3 + x^{2}}{x}$

Этап 1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{1 - 4 y}{y} d y = \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1 - 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Этап 2.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Этап 2.2.3.2

Разделим $- 4$ на $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 4 d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 4 d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Этап 2.2.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| y |) + C_{1} - 4 y + C_{2} = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

$\ln (| y |) - 4 y + C_{3} = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Этап 2.2.7

Изменим порядок членов.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} + \frac{x^{2}}{x} d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x^{2}}{x} d x$

Этап 2.3.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x} d x$

Этап 2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x$

Этап 2.3.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x$

Этап 2.3.3.2.3

Сократим общий множитель.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x$

Этап 2.3.3.2.4

Перепишем это выражение.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x}{1} d x$

Этап 2.3.3.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int x d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 \int \frac{1}{x} d x + \int x d x$

Этап 2.3.5

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 (\ln (| x |) + C_{4}) + \int x d x$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 (\ln (| x |) + C_{4}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

Этап 2.3.7

Упростим.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 \ln (| x |) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

Этап 2.3.8

Изменим порядок членов.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + 3 \ln (| x |) + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- 4 y + \ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + 3 \ln (| x |) + C$