Математический анализ Примеры

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 12$

Этап 1

Проинтегрируем обе части по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Первая производная равна интегралу от второй производной по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int 12 d x$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{d y}{d x} = 12 x + C_{1}$

Этап 2

Перепишем уравнение.

$d y = (12 x + C_{1}) d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 12 x + C_{1} d x$

Этап 3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{2} = \int 12 x + C_{1} d x$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{2} = \int 12 x d x + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.2

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$y + C_{2} = 12 \int x d x + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{2} = 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{2} = 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Этап 3.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y + C_{2} = 12 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Этап 3.3.5.2

Упростим.

$y + C_{2} = 6 x^{2} + C_{1} x + C_{5}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $D$ .

$y = 6 x^{2} + C x + D$