Математический анализ Примеры

Решите Дифференциальное Уравнение 3y^2tdy+(y^3+2t)dt=0
Этап 1
Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Перепишем.
Этап 2
Найдем , где .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Продифференцируем по .
Этап 2.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.5
Добавим и .
Этап 3
Найдем , где .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Продифференцируем по .
Этап 3.2
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 4
Проверим, что .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Подставим вместо , а вместо .
Этап 4.2
Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.
не является тождеством.
не является тождеством.
Этап 5
Найдем коэффициент интегрирования .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Подставим вместо .
Этап 5.2
Подставим вместо .
Этап 5.3
Подставим вместо .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.1
Подставим вместо .
Этап 5.3.2
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.3.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 5.3.2.3
Вынесем множитель из .
Этап 5.3.2.4
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.2.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.3.2.4.2
Сократим общий множитель.
Этап 5.3.2.4.3
Перепишем это выражение.
Этап 5.3.3
Добавим и .
Этап 5.3.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.3.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 5.4
Найдем коэффициент интегрирования .
Этап 6
Найдем интеграл .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Применим правило дифференцирования постоянных функций.
Этап 6.2
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.1
Объединим и .
Этап 6.2.2
Упростим.
Этап 7
Умножим обе стороны на коэффициент интегрирования .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Умножим на .
Этап 7.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 7.3
Умножим на .
Этап 8
Приравняем к интегралу .
Этап 9
Проинтегрируем , чтобы найти .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.1
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 9.2
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 9.3
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.3.1
Перепишем в виде .
Этап 9.3.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.3.2.1
Объединим и .
Этап 9.3.2.2
Объединим и .
Этап 9.3.2.3
Объединим и .
Этап 9.3.2.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.3.2.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 9.3.2.4.2
Разделим на .
Этап 10
Так как интеграл будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить на .
Этап 11
Зададим .
Этап 12
Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 12.1
Продифференцируем по .
Этап 12.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 12.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 12.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 12.3.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 12.3.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 12.3.2.2
Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что имеет вид , где =.
Этап 12.3.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 12.3.3
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 12.3.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 12.3.5
Умножим на .
Этап 12.3.6
Объединим и .
Этап 12.3.7
Объединим и .
Этап 12.3.8
Объединим и .
Этап 12.3.9
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 12.3.9.1
Сократим общий множитель.
Этап 12.3.9.2
Разделим на .
Этап 12.4
Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от равна .
Этап 12.5
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 12.5.1
Изменим порядок членов.
Этап 12.5.2
Изменим порядок множителей в .
Этап 13
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.1
Перенесем все члены без в правую часть уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.1.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 13.1.2
Объединим противоположные члены в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.1.2.1
Вычтем из .
Этап 13.1.2.2
Добавим и .
Этап 14
Найдем первообразную , чтобы найти .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.1
Проинтегрируем обе части .
Этап 14.2
Найдем значение .
Этап 14.3
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 14.4
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.4.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.4.1.1
Дифференцируем .
Этап 14.4.1.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 14.4.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 14.4.1.4
Умножим на .
Этап 14.4.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 14.5
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.5.1
Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на .
Этап 14.5.2
Умножим на .
Этап 14.6
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 14.7
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.7.1
Возведем в степень .
Этап 14.7.2
Возведем в степень .
Этап 14.7.3
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 14.7.4
Добавим и .
Этап 14.8
Интеграл по имеет вид .
Этап 14.9
Упростим.
Этап 14.10
Заменим все вхождения на .
Этап 15
Подставим выражение для в .
Этап 16
Изменим порядок множителей в .