Математический анализ Примеры

$\frac{d P}{d t} = 500 - 0.12 P$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{500 - 0.12 P}$ .

$\frac{1}{500 - 0.12 P} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{500 - 0.12 P} (500 - 0.12 P)$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $500 - 0.12 P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{500 - 0.12 P} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{500 - 0.12 P} (500 - 0.12 P)$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{500 - 0.12 P} \frac{d P}{d t} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{500 - 0.12 P} d P = 1 d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{500 - 0.12 P} d P = \int d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 500 - 0.12 P$ . Тогда $d u = - 0.12 d P$ , следовательно $\frac{1}{- 0.12} d u = d P$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 500 - 0.12 P$ . Найдем $\frac{d u}{d P}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $500 - 0.12 P$ .

$\frac{d}{d P} [500 - 0.12 P]$

Этап 2.2.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

По правилу суммы производная $500 - 0.12 P$ по $P$ имеет вид $\frac{d}{d P} [500] + \frac{d}{d P} [- 0.12 P]$ .

$\frac{d}{d P} [500] + \frac{d}{d P} [- 0.12 P]$

Этап 2.2.1.1.2.2

Поскольку $500$ является константой относительно $P$ , производная $500$ относительно $P$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d P} [- 0.12 P]$

Этап 2.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d P} [- 0.12 P]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Поскольку $- 0.12$ является константой относительно $P$ , производная $- 0.12 P$ по $P$ равна $- 0.12 \frac{d}{d P} [P]$ .

$0 - 0.12 \frac{d}{d P} [P]$

Этап 2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d P} [P^{n}]$ имеет вид $n P^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 0.12 \cdot 1$

Этап 2.2.1.1.3.3

Умножим $- 0.12$ на $1$ .

$0 - 0.12$

Этап 2.2.1.1.4

Вычтем $0.12$ из $0$ .

$- 0.12$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 0.12} d u = \int d t$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{0.12}) d u = \int d t$

Этап 2.2.2.2

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{0.12}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 0.12} d u = \int d t$

Этап 2.2.2.3

Перенесем $0.12$ влево от $u$ .

$\int - \frac{1}{0.12 u} d u = \int d t$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{0.12 u} d u = \int d t$

Этап 2.2.4

Поскольку $\frac{1}{0.12}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{0.12}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{0.12} \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{0.12} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Этап 2.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Перепишем $- \frac{1}{0.12} (\ln (| u |) + C_{1})$ в виде $- 1 \cdot 8.\overline{3} \ln (| u |) + C_{1}$ .

$- 1 \cdot 8.\overline{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Этап 2.2.6.2

Умножим $- 1$ на $8.\overline{3}$ .

$- 8.\overline{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u$ на $500 - 0.12 P$ .

$- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) + C_{1} = \int d t$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) + C_{1} = t + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) = t + C$

Этап 3

Решим относительно $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) = t + C$ на $- 8.\overline{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) = t + C$ на $- 8.\overline{3}$ .

$\frac{- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |)}{- 8.\overline{3}} = \frac{t}{- 8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель $- 8.\overline{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |)}{- 8.\overline{3}} = \frac{t}{- 8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Этап 3.1.2.1.2

Разделим $\ln (| 500 - 0.12 P |)$ на $1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = \frac{t}{- 8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - \frac{t}{8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Этап 3.1.3.1.2

Умножим на $1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - \frac{1 t}{8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Этап 3.1.3.1.3

Вынесем множитель $8.\overline{3}$ из $8.\overline{3}$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - \frac{1 t}{8.\overline{3} (1)} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Этап 3.1.3.1.4

Разделим дроби.

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - (\frac{1}{8.\overline{3}} \cdot \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Этап 3.1.3.1.5

Разделим $1$ на $8.\overline{3}$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - (0.12 \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Этап 3.1.3.1.6

Разделим $t$ на $1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - (0.12 t) + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Этап 3.1.3.1.7

Умножим $0.12$ на $- 1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Этап 3.1.3.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - \frac{C}{8.\overline{3}}$

Этап 3.1.3.1.9

Умножим на $1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - \frac{1 C}{8.\overline{3}}$

Этап 3.1.3.1.10

Вынесем множитель $8.\overline{3}$ из $8.\overline{3}$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - \frac{1 C}{8.\overline{3} (1)}$

Этап 3.1.3.1.11

Разделим дроби.

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - (\frac{1}{8.\overline{3}} \cdot \frac{C}{1})$

Этап 3.1.3.1.12

Разделим $1$ на $8.\overline{3}$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - (0.12 \frac{C}{1})$

Этап 3.1.3.1.13

Разделим $C$ на $1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - (0.12 C)$

Этап 3.1.3.1.14

Умножим $0.12$ на $- 1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - 0.12 C$

Этап 3.2

Чтобы решить относительно $P$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 500 - 0.12 P |)} = e^{- 0.12 t - 0.12 C}$

Этап 3.3

Перепишем $\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - 0.12 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 0.12 t - 0.12 C} = | 500 - 0.12 P |$

Этап 3.4

Решим относительно $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $| 500 - 0.12 P | = e^{- 0.12 t - 0.12 C}$ .

$| 500 - 0.12 P | = e^{- 0.12 t - 0.12 C}$

Этап 3.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$500 - 0.12 P = \pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}$

Этап 3.4.3

Вычтем $500$ из обеих частей уравнения.

$- 0.12 P = \pm e^{- 0.12 t - 0.12 C} - 500$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $- 0.12 P = \pm e^{- 0.12 t - 0.12 C} - 500$ на $- 0.12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $- 0.12 P = \pm e^{- 0.12 t - 0.12 C} - 500$ на $- 0.12$ .

$\frac{- 0.12 P}{- 0.12} = \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{- 0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $- 0.12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 0.12 P}{- 0.12} = \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{- 0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $P$ на $1$ .

$P = \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{- 0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1.1

Упростим $\frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{- 0.12}$ .

$P = \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Этап 3.4.4.3.1.2

Умножим на $1$ .

$P = \frac{1 (\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C})}{0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Этап 3.4.4.3.1.3

Вынесем множитель $0.12$ из $0.12$ .

$P = \frac{1 (\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C})}{0.12 (1)} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Этап 3.4.4.3.1.4

Разделим дроби.

$P = \frac{1}{0.12} \cdot \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{1} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Этап 3.4.4.3.1.5

Разделим $1$ на $0.12$ .

$P = 8.\overline{3} \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{1} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Этап 3.4.4.3.1.6

Разделим $\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}$ на $1$ .

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}) + \frac{- 500}{- 0.12}$

Этап 3.4.4.3.1.7

Разделим $- 500$ на $- 0.12$ .

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}) + 4166.\overline{6}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{- 0.12 t + C}) + 4166.\overline{6}$

Этап 4.2

Перепишем $e^{- 0.12 t + C}$ в виде $e^{- 0.12 t} e^{C}$ .

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{- 0.12 t} e^{C}) + 4166.\overline{6}$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{- 0.12 t}$ и $e^{C}$ .

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{C} e^{- 0.12 t}) + 4166.\overline{6}$

Этап 4.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$P = 8.\overline{3} (C e^{- 0.12 t}) + 4166.\overline{6}$