Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = 4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода Бернулли.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} - 2 y = 4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

Этап 1.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x}$

Этап 1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x^{1}}$

Этап 1.4.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

Этап 1.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}}{1}$

Этап 1.4.5

Разделим $4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.5

Вынесем множитель $y$ из $\frac{- 2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.6

Изменим порядок $y$ и $\frac{- 2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Чтобы решить дифференциальное уравнение, пусть $v = y^{1 - n}$ , где $n$ — показатель степени $y^{\frac{1}{2}}$ .

$v = y^{\frac{1}{2}}$

Этап 3

Решим уравнение относительно $y$ .

$y = v^{2}$

Этап 4

Возьмем производную $y$ по $x$ .

$y' = v^{2}$

Этап 5

Возьмем производную $v^{2}$ по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возьмем производную от $v^{2}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $v$ .

$y' = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

Этап 5.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y' = 2 u \frac{d}{d x} [v]$

Этап 5.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $v$ .

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

Этап 5.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [v]$ в виде $v'$ .

$y' = 2 v v'$

Этап 6

Подставим $2 v v'$ вместо $\frac{d y}{d x}$ и $v^{2}$ вместо $y$ в исходное уравнение $\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 v v' + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 7

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Разделим каждый член $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $2 v$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Разделим каждый член $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $2 v$ .

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.2.1.2

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.2.1.2.2

Разделим $\frac{d v}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.2.1.3

Сократим общий множитель $v^{2}$ и $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.3.1

Вынесем множитель $v$ из $\frac{- 2}{x} v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $v$ из $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2}{x} v}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.2.1.4

Объединим $\frac{- 2}{x}$ и $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2 v}{x}}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- \frac{2 v}{x}}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.2.1.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.2.1.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 v}{x}$ в числитель.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2 v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.2.1.7.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 (- v)}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.2.1.7.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 (- v)}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.2.1.7.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Этап 7.1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 v}$

Этап 7.1.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 (v)}$

Этап 7.1.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 v}$

Этап 7.1.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{v}$

Этап 7.1.1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.3.1

Перемножим экспоненты в ${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{2 (\frac{1}{2})}}{v}$

Этап 7.1.1.3.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{2 (\frac{1}{2})}}{v}$

Этап 7.1.1.3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{1}}{v}$

Этап 7.1.1.3.3.2

Упростим.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v}{v}$

Этап 7.1.1.3.4

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v}{v}$

Этап 7.1.1.3.4.2

Разделим $2 x^{2}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = 2 x^{2}$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $v$ из $- \frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{1}{x}) = 2 x^{2}$

Этап 7.1.3

Изменим порядок $v$ и $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = 2 x^{2}$

Этап 7.2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Этап 7.2.2

Проинтегрируем $- \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 7.2.2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Этап 7.2.2.3

Упростим.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Этап 7.2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- \ln (x)}$

Этап 7.2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Этап 7.2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{- 1}$

Этап 7.2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 7.3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Этап 7.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Этап 7.3.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Этап 7.3.2.3

Объединим $\frac{1}{x}$ и $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Этап 7.3.2.4

Умножим $- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.4.1

Умножим $\frac{v}{x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Этап 7.3.2.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Этап 7.3.2.4.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Этап 7.3.2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Этап 7.3.2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Этап 7.3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = 2 \frac{1}{x} x^{2}$

Этап 7.3.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} x^{2}$

Этап 7.3.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} (x \cdot x)$

Этап 7.3.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} (x \cdot x)$

Этап 7.3.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = 2 x$

Этап 7.4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = 2 x$

Этап 7.5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int 2 x d x$

Этап 7.6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{x} v = \int 2 x d x$

Этап 7.7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{x} v = 2 \int x d x$

Этап 7.7.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 7.7.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.3.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x} v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 7.7.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Этап 7.7.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Этап 7.7.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x} v = 1 x^{2} + C$

Этап 7.7.3.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{x} v = x^{2} + C$

Этап 7.8

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $v$ .

$\frac{v}{x} = x^{2} + C$

Этап 7.8.2

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{v}{x} x = (x^{2} + C) x$

Этап 7.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{v}{x} x = (x^{2} + C) x$

Этап 7.8.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$v = (x^{2} + C) x$

Этап 7.8.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.2.1

Упростим $(x^{2} + C) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$v = x^{2} x + C x$

Этап 7.8.3.2.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.2.1.2.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.2.1.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$v = x^{2} x^{1} + C x$

Этап 7.8.3.2.1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$v = x^{2 + 1} + C x$

Этап 7.8.3.2.1.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$v = x^{3} + C x$

Этап 8

Подставим $y^{\frac{1}{2}}$ вместо $v$ .

$y^{\frac{1}{2}} = x^{3} + C x$