Математический анализ Примеры

$\frac{1}{e^{x}} + 2 = x - 3 \frac{d y}{d x}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем уравнение в виде $x - 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2$ .

$x - 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2$

Этап 1.1.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2 - x$

Этап 1.1.3

Разделим каждый член $- 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2 - x$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разделим каждый член $- 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2 - x$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 \frac{d y}{d x}}{- 3} = \frac{\frac{1}{e^{x}}}{- 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Этап 1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 \frac{d y}{d x}}{- 3} = \frac{\frac{1}{e^{x}}}{- 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Этап 1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{e^{x}}}{- 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Этап 1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} \cdot \frac{1}{- 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Объединим.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{e^{x} \cdot - 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x} \cdot - 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Этап 1.1.3.3.1.4

Перенесем $- 3$ влево от $e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 3 \cdot e^{x}} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Этап 1.1.3.3.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 \cdot e^{x}} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Этап 1.1.3.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{- x}{- 3}$

Этап 1.1.3.3.1.7

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{x}{3}$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$d y = (- \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{x}{3}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int - \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{x}{3} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{x}{3} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{3 e^{x}} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{3 e^{x}} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{e^{x}} d x) + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Этап 2.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Поменяем знак экспоненты $e^{x}$ и вынесем ее из знаменателя.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Этап 2.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int 1 e^{x \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Этап 2.3.4.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Этап 2.3.4.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int 1 e^{- x} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Этап 2.3.4.2.2

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int e^{- x} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Этап 2.3.5

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.3.5.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 2.3.5.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int - e^{u} d u + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Этап 2.3.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} (- \int e^{u} d u) + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 (\frac{1}{3}) \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Этап 2.3.7.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Этап 2.3.8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Этап 2.3.9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - \frac{2}{3} x + C_{3} + \int \frac{x}{3} d x$

Этап 2.3.10

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - \frac{2}{3} x + C_{3} + \frac{1}{3} \int x d x$

Этап 2.3.11

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - \frac{2}{3} x + C_{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Этап 2.3.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.12.1

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

Этап 2.3.12.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.12.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{3 \cdot 2} x^{2} + C_{5}$

Этап 2.3.12.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{6} x^{2} + C_{5}$

Этап 2.3.13

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{- x} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{6} x^{2} + C_{5}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{3} e^{- x} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{6} x^{2} + K$