Математический анализ Примеры

$x (\frac{d y}{d x}) = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$

Этап 1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

Этап 1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

Этап 1.3.1.2

Разделим $2 e^{- \frac{y}{x}}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2 e^{- \frac{y}{x}}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + 2 e^{- V}$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 2 e^{- V}$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = V + 2 e^{- V} - V$

Этап 6.1.1.1.2

Объединим противоположные члены в $V + 2 e^{- V} - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.2.1

Вычтем $V$ из $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V} + 0$

Этап 6.1.1.1.2.2

Добавим $2 e^{- V}$ и $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$

Этап 6.1.1.2

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

Этап 6.1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

Этап 6.1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

Этап 6.1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{e^{- V}}$ .

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{e^{- V}} \cdot \frac{2 e^{- V}}{x}$

Этап 6.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Объединим.

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (2 e^{- V})}{e^{- V} x}$

Этап 6.1.3.2

Сократим общий множитель $e^{- V}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (2 e^{- V})}{e^{- V} x}$

Этап 6.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cdot (2)}{x}$

Этап 6.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

Этап 6.1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{e^{- V}} d V = \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{e^{- V}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Поменяем знак экспоненты $e^{- V}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\int 1 {(e^{- V})}^{- 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{- V})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- V \cdot - 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2.2.1.2.1.2

Умножим $- V \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int 1 e^{1 V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2.2.1.2.1.2.2

Умножим $V$ на $1$ .

$\int 1 e^{V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2.2.1.2.2

Умножим $e^{V}$ на $1$ .

$\int e^{V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2.2.2

Интеграл $e^{V}$ по $V$ имеет вид $e^{V}$ .

$e^{V} + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{V} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{V} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 6.2.3.3

Упростим.

$e^{V} + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$e^{V} = 2 \ln (| x |) + C$

Этап 6.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{V}) = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Этап 6.3.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Развернем $\ln (e^{V})$ , вынося $V$ из логарифма.

$V \ln (e) = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Этап 6.3.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$V \cdot 1 = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Этап 6.3.2.3

Умножим $V$ на $1$ .

$V = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Этап 6.3.3

Развернем $\ln (x^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$V = \ln (2 \ln (x) + C)$

Этап 6.3.4

Упростим $2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$V = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Этап 8

Решим $\frac{y}{x} = \ln (\ln (x^{2}) + C)$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

Этап 8.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

Этап 8.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Изменим порядок множителей в $\ln (\ln (x^{2}) + C) x$ .

$y = x \ln (\ln (x^{2}) + C)$