Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x y^{2}$ , $y (0) = 5$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (x y^{2})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} x)$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} x)$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int x d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int x d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int x d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.2.3

Перепишем $- y^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{x^{2}}{2} + K$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 2, 1$

Этап 3.2.2

Так как $y, 2, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 2, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $y^{1}$ .

Этап 3.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.5

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 3.2.6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.7

НОК $1, 2, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 3.2.8

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 3.2.9

НОК $y^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y$

Этап 3.2.10

НОК $y, 2, 1$ представляет собой произведение числовой части $2$ и переменной части.

$2 y$

Этап 3.3

Каждый член в $- \frac{1}{y} = \frac{x^{2}}{2} + K$ умножим на $2 y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y} = \frac{x^{2}}{2} + K$ на $2 y$ .

$- \frac{1}{y} (2 y) = \frac{x^{2}}{2} (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y} (2 y) = \frac{x^{2}}{2} (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.2.1.2

Вынесем множитель $y$ из $2 y$ .

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = \frac{x^{2}}{2} (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = \frac{x^{2}}{2} (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.2.1.4

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 2 = \frac{x^{2}}{2} (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 = \frac{x^{2}}{2} (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 = 2 \frac{x^{2}}{2} y + K (2 y)$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- 2 = 2 \frac{x^{2}}{2} y + K (2 y)$

Этап 3.3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- 2 = x^{2} y + K (2 y)$

Этап 3.3.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 = x^{2} y + 2 K y$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} y + 2 K y = - 2$ .

$x^{2} y + 2 K y = - 2$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y + 2 K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y$ .

$y x^{2} + 2 K y = - 2$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $y$ из $2 K y$ .

$y x^{2} + y (2 K) = - 2$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y x^{2} + y (2 K)$ .

$y (x^{2} + 2 K) = - 2$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член $y (x^{2} + 2 K) = - 2$ на $x^{2} + 2 K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член $y (x^{2} + 2 K) = - 2$ на $x^{2} + 2 K$ .

$\frac{y (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Этап 3.4.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Этап 3.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{2}{x^{2} + 2 K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \frac{2}{x^{2} + K}$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $5$ вместо $y$ в $y = - \frac{2}{x^{2} + K}$ .

$5 = - \frac{2}{0^{2} + K}$

Этап 6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{2}{0^{2} + K} = 5$ .

$- \frac{2}{0^{2} + K} = 5$

Этап 6.2

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{2}{0 + K} = 5$

Этап 6.2.2

Добавим $0$ и $K$ .

$- \frac{2}{K} = 5$

Этап 6.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$K, 1$

Этап 6.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$K$

Этап 6.4

Каждый член в $- \frac{2}{K} = 5$ умножим на $K$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим каждый член $- \frac{2}{K} = 5$ на $K$ .

$- \frac{2}{K} K = 5 K$

Этап 6.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Сократим общий множитель $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{K}$ в числитель.

$\frac{- 2}{K} K = 5 K$

Этап 6.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2}{K} K = 5 K$

Этап 6.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 2 = 5 K$

Этап 6.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перепишем уравнение в виде $5 K = - 2$ .

$5 K = - 2$

Этап 6.5.2

Разделим каждый член $5 K = - 2$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Разделим каждый член $5 K = - 2$ на $5$ .

$\frac{5 K}{5} = \frac{- 2}{5}$

Этап 6.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 K}{5} = \frac{- 2}{5}$

Этап 6.5.2.2.1.2

Разделим $K$ на $1$ .

$K = \frac{- 2}{5}$

Этап 6.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$K = - \frac{2}{5}$

Этап 7

Подставим $- \frac{2}{5}$ вместо $K$ в $y = - \frac{2}{x^{2} + K}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $- \frac{2}{5}$ вместо $K$ .

$y = - \frac{2}{x^{2} - \frac{2}{5}}$

Этап 7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Чтобы записать $x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{2}{x^{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2}{5}}$

Этап 7.2.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{2}{\frac{x^{2} \cdot 5}{5} - \frac{2}{5}}$

Этап 7.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{2}{\frac{x^{2} \cdot 5 - 2}{5}}$

Этап 7.2.4

Перенесем $5$ влево от $x^{2}$ .

$y = - \frac{2}{\frac{5 x^{2} - 2}{5}}$

Этап 7.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = - (2 \frac{5}{5 x^{2} - 2})$

Этап 7.4

Умножим $2 \frac{5}{5 x^{2} - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Объединим $2$ и $\frac{5}{5 x^{2} - 2}$ .

$y = - \frac{2 \cdot 5}{5 x^{2} - 2}$

Этап 7.4.2

Умножим $2$ на $5$ .

$y = - \frac{10}{5 x^{2} - 2}$