Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = 1 + e^{x}$ . Тогда $d u = e^{x} d x$ , следовательно $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = 1 + e^{x}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Этап 2.3.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.3.1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Этап 2.3.1.1.4

Добавим $0$ и $e^{x}$ .

$e^{x}$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + e^{x}$ .

$y + C_{1} = \ln (| 1 + e^{x} |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$