Математический анализ Примеры

$\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y) d x + (y - x) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)]$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{1}{x^{2}}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ по $y$ равна $\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2} y]$

Этап 1.3

По правилу суммы производная $1 - x^{2} y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y])$

Этап 1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [- x^{2} y])$

Этап 1.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$

Этап 1.6

Поскольку $- x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $- x^{2} y$ по $y$ равна $- x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (- x^{2} \frac{d}{d y} [y])$

Этап 1.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{x^{2}}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.7.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{x^{2}}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.7.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.7.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

Этап 1.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = y - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - x]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $y - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.2.2

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1$

Этап 2.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 1 = - 1$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$- 1 = - 1$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y - x d y$

Этап 5

Проинтегрируем $N (x, y) = y - x$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int y d y + \int - x d y$

Этап 5.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x d y$

Этап 5.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - x y + C$

Этап 5.4

Упростим.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Этап 8.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Этап 8.2.2

Поскольку $\frac{1}{2} y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2} y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- x y$ по $x$ равна $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Этап 8.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Этап 8.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - y + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$0 - y + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Этап 8.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Вычтем $y$ из $0$ .

$- y + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Этап 8.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим $\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Перепишем.

$\frac{d g}{d x} - y = 0 + 0 + \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Этап 9.1.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Этап 9.1.1.3

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $1 - x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Этап 9.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} + y$

Этап 9.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.2.1

Разобьем дробь $\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$ на две дроби.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

Этап 9.1.2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

Этап 9.1.2.2.2.1.2

Разделим $- 1 y$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - 1 y + y$

Этап 9.1.2.2.2.2

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - y + y$

Этап 9.1.2.3

Объединим противоположные члены в $\frac{1}{x^{2}} - y + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.3.1

Добавим $- y$ и $y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + 0$

Этап 9.1.2.3.2

Добавим $\frac{1}{x^{2}}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 10

Найдем первообразную $\frac{1}{x^{2}}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 10.3

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$g (x) = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 10.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 10.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$g (x) = \int x^{- 2} d x$

Этап 10.5

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$g (x) = - x^{- 1} + C$

Этап 10.6

Перепишем $- x^{- 1} + C$ в виде $- \frac{1}{x} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{x} + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y - \frac{1}{x} + C$

Этап 12

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - x y - \frac{1}{x} + C$