Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 3 (y + 1)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (3 (y + 1))$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{y + 1} (y + 1)$

Этап 1.2.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{y + 1} (y + 1)$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{y + 1} (y + 1)$

Этап 1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = 3$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y + 1} d y = 3 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int 3 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = y + 1$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = y + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 3 d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 3 d x$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int 3 d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 3 x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = 3 x + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{3 x + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y + 1 |) = 3 x + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{3 x + C} = | y + 1 |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y + 1 | = e^{3 x + C}$ .

$| y + 1 | = e^{3 x + C}$

Этап 3.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm e^{3 x + C}$

Этап 3.3.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = \pm e^{3 x + C} - 1$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{3 x + C}$ в виде $e^{3 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{3 x} e^{C} - 1$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{3 x}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{3 x} - 1$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{3 x} - 1$