Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 4 x - 3$ и $y (6) = 0$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (4 x - 3) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 4 x - 3 d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 4 x - 3 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 4 x d x + \int - 3 d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 4 \int x d x + \int - 3 d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 3 d x$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 3 x + C_{3}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 3 x + C_{3}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 3 x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = 2 x^{2} - 3 x + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $6$ вместо $x$ и $0$ вместо $y$ в $y = 2 x^{2} - 3 x + K$ .

$0 = 2 \cdot 6^{2} - 3 \cdot 6 + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $2 \cdot 6^{2} - 3 \cdot 6 + K = 0$ .

$2 \cdot 6^{2} - 3 \cdot 6 + K = 0$

Этап 4.2

Упростим $2 \cdot 6^{2} - 3 \cdot 6 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$2 \cdot 36 - 3 \cdot 6 + K = 0$

Этап 4.2.1.2

Умножим $2$ на $36$ .

$72 - 3 \cdot 6 + K = 0$

Этап 4.2.1.3

Умножим $- 3$ на $6$ .

$72 - 18 + K = 0$

Этап 4.2.2

Вычтем $18$ из $72$ .

$54 + K = 0$

Этап 4.3

Вычтем $54$ из обеих частей уравнения.

$K = - 54$

Этап 5

Подставим $- 54$ вместо $K$ в $y = 2 x^{2} - 3 x + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 54$ вместо $K$ .

$y = 2 x^{2} - 3 x - 54$