Математический анализ Примеры

$\frac{1}{y} d x + 3 y d y = 0$

Этап 1

Вычтем $\frac{1}{y} d x$ из обеих частей уравнения.

$3 y d y = - \frac{1}{y} d x$

Этап 2

Умножим обе части на $y$ .

$y (3 y) d y = y (- \frac{1}{y}) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 y \cdot y d y = y (- \frac{1}{y}) d x$

Этап 3.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем $y$ .

$3 (y \cdot y) d y = y (- \frac{1}{y}) d x$

Этап 3.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$3 y^{2} d y = y (- \frac{1}{y}) d x$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 y^{2} d y = - y \frac{1}{y} d x$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$3 y^{2} d y = y \cdot - 1 \frac{1}{y} d x$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель.

$3 y^{2} d y = y \cdot - 1 \frac{1}{y} d x$

Этап 3.4.3

Перепишем это выражение.

$3 y^{2} d y = - 1 d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 3 y^{2} d y = \int - 1 d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int y^{2} d y = \int - 1 d x$

Этап 4.2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - 1 d x$

Этап 4.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Перепишем $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ в виде $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ .

$3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

Этап 4.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

Этап 4.2.3.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

Этап 4.2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

Этап 4.2.3.2.3

Умножим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

Этап 4.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y^{3} + C_{1} = - x + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y^{3} = - x + K$

Этап 5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{- x + K}$