Математический анализ Примеры

$\frac{\sin (x)}{1 + y} \cdot \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Упростим $\frac{\sin (x)}{1 + y} \frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Объединим $\frac{\sin (x)}{1 + y}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{1 + y} = \cos (x)$

Этап 1.1.1.1.2

Изменим порядок множителей в $\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{1 + y}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{1 + y} = \cos (x)$

Этап 1.1.2

Умножим обе части на $1 + y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{1 + y} (1 + y) = \cos (x) (1 + y)$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Сократим общий множитель $1 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{1 + y} (1 + y) = \cos (x) (1 + y)$

Этап 1.1.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = \cos (x) (1 + y)$

Этап 1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Упростим $\cos (x) (1 + y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) y$

Этап 1.1.3.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.2.1

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = \cos (x) + \cos (x) y$

Этап 1.1.3.2.1.2.2

Изменим порядок множителей в $\cos (x) + \cos (x) y$ .

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = \cos (x) + y \cos (x)$

Этап 1.1.3.2.1.2.3

Изменим порядок $\cos (x)$ и $y \cos (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = y \cos (x) + \cos (x)$

Этап 1.1.4

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} \sin (x) = y \cos (x) + \cos (x)$ на $\sin (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} \sin (x) = y \cos (x) + \cos (x)$ на $\sin (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{y \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 1.1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{y \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 1.1.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1.1

Разделим дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 1.1.4.3.1.2

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1} \cot (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 1.1.4.3.1.3

Разделим $y$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cot (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 1.1.4.3.1.4

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cot (x) + \cot (x)$

Этап 1.2

Вынесем множитель $\cot (x)$ из $y \cot (x) + \cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $\cot (x)$ из $y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \cot (x) y + \cot (x)$

Этап 1.2.2

Умножим на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \cot (x) y + \cot (x) \cdot 1$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $\cot (x)$ из $\cot (x) y + \cot (x) \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \cot (x) (y + 1)$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (\cot (x) (y + 1))$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $y + 1$ из $\cot (x) (y + 1)$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \cot (x))$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \cot (x))$

Этап 1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \cot (x)$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y + 1} d y = \cot (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \cot (x) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = y + 1$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = y + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \cot (x) d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \cot (x) d x$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \cot (x) d x$

Этап 2.3

Интеграл $\cot (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \ln (| \sin (x) |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \ln (| \sin (x) |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| \sin (x) |) = C$

Этап 3.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |}) = C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |})} = e^{C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |}$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |} = e^{C}$ .

$\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |} = e^{C}$

Этап 3.5.2

Умножим обе части на $| \sin (x) |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |} | \sin (x) | = e^{C} | \sin (x) |$

Этап 3.5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Сократим общий множитель $| \sin (x) |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |} | \sin (x) | = e^{C} | \sin (x) |$

Этап 3.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y + 1 | = e^{C} | \sin (x) |$

Этап 3.5.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{C} | \sin (x) |$ .

$| y + 1 | = | \sin (x) | e^{C}$

Этап 3.5.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm | \sin (x) | e^{C}$

Этап 3.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1

Изменим порядок множителей в $\pm | \sin (x) | e^{C}$ .

$y + 1 = \pm e^{C} | \sin (x) |$

Этап 3.5.4.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = \pm e^{C} | \sin (x) | - 1$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm C | \sin (x) | - 1$

Этап 4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C | \sin (x) | - 1$