Математический анализ Примеры

$\frac{x}{15 y^{2}} = \frac{d y}{d x}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поменяем части местами, чтобы получить $\frac{d y}{d x}$ слева.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{15 y^{2}}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x}{15 y^{2}}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $15 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x}{y^{2} \cdot 15}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x}{y^{2} \cdot 15}$

Этап 1.3.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{15}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$y^{2} d y = \frac{x}{15} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{2} d y = \int \frac{x}{15} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x}{15} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{15}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{15}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{15} \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{15} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $\frac{1}{15} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $\frac{1}{15} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Умножим $\frac{1}{15}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{15 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Умножим $15$ на $2$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{30} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{30} x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{30}$ и $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{30} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{30} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $30$ .

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3 (10)} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3 \cdot 10} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$y^{3} = \frac{x^{2}}{10} + 3 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{10} + 3 K}$

Этап 3.4

Упростим $\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{10} + 3 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы записать $3 K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{10}{10}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{10} + 3 K \cdot \frac{10}{10}}$

Этап 3.4.2

Объединим $3 K$ и $\frac{10}{10}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{10} + \frac{3 K \cdot 10}{10}}$

Этап 3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} + 3 K \cdot 10}{10}}$

Этап 3.4.4

Умножим $10$ на $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} + 30 K}{10}}$

Этап 3.4.5

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 30 K}{10}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}}$

Этап 3.4.6

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$

Этап 3.4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{10}}^{2}}$

Этап 3.4.7.2

Возведем $\sqrt[3]{10}$ в степень $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{1} {\sqrt[3]{10}}^{2}}$

Этап 3.4.7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{1 + 2}}$

Этап 3.4.7.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{3}}$

Этап 3.4.7.5

Перепишем ${\sqrt[3]{10}}^{3}$ в виде $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{10}$ в виде $10^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{(10^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.4.7.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.4.7.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.7.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.7.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{1}}$

Этап 3.4.7.5.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10}$

Этап 3.4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1

Перепишем ${\sqrt[3]{10}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{10^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} \sqrt[3]{10^{2}}}{10}$

Этап 3.4.8.2

Возведем $10$ в степень $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} \sqrt[3]{100}}{10}$

Этап 3.4.9

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.9.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{2} + 30 K) \cdot 100}}{10}$

Этап 3.4.9.2

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[3]{(x^{2} + 30 K) \cdot 100}}{10}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{100 (x^{2} + 30 K)}}{10}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt[3]{100 (x^{2} + K)}}{10}$