Математический анализ Примеры

$x d x - 4 y d y = 0$

Этап 1

Вычтем $x d x$ из обеих частей уравнения.

$- 4 y d y = - x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int - 4 y d y = \int - x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$- 4 \int y d y = \int - x d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - x d x$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $- 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ в виде $- 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$- 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Этап 2.2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Этап 2.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Этап 2.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Этап 2.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{1} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Этап 2.2.3.2.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$- 2 y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- 2 y^{2} + C_{1} = - \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Перепишем $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$- 2 y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- 2 y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- 2 y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- 2 y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Этап 3.1.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = \frac{- \frac{x^{2}}{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Этап 3.1.3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y^{2} = - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Этап 3.1.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{x^{2}}{2} (- \frac{1}{2}) + \frac{K}{- 2}$

Этап 3.1.3.1.4

Умножим $- \frac{x^{2}}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y^{2} = 1 \frac{x^{2}}{2} \frac{1}{2} + \frac{K}{- 2}$

Этап 3.1.3.1.4.2

Умножим $\frac{x^{2}}{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{- 2}$

Этап 3.1.3.1.4.3

Умножим $\frac{x^{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{K}{- 2}$

Этап 3.1.3.1.4.4

Умножим $2$ на $2$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{- 2}$

Этап 3.1.3.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2}$

Этап 3.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2}}$

Этап 3.3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы записать $- \frac{K}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2} \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 3.3.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $\frac{K}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K \cdot 2}{2 \cdot 2}}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K \cdot 2}{4}}$

Этап 3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - K \cdot 2}{4}}$

Этап 3.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 2 K}{4}}$

Этап 3.3.5

Перепишем $\frac{x^{2} - 2 K}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $x^{2} - 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 K)}{4}}$

Этап 3.3.5.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 3.3.5.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (x^{2} - 2 K)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 K)}$

Этап 3.3.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} - 2 K}$

Этап 3.3.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{x^{2} - 2 K}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

Этап 3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

Этап 3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + K}}{2}$