Математический анализ Примеры

$(3 y^{2} + 2 x y + 2 x) d x + (6 x y + x^{2} + 3) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 3 y^{2} + 2 x y + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 y^{2} + 2 x y + 2 x]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $3 y^{2} + 2 x y + 2 x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 y^{2}$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (2 y) + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x y$ по $y$ равна $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x]$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x + \frac{d}{d y} [2 x]$

Этап 1.5

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x + 0$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Добавим $6 y + 2 x$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x$

Этап 1.6.2

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 6 y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 6 x y + x^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x y + x^{2} + 3]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $6 x y + x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $6 y$ является константой относительно $x$ , производная $6 x y$ по $x$ равна $6 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y + 2 x + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.4.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y + 2 x + 0$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $6 y + 2 x$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y + 2 x$

Этап 2.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 6 y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 x + 6 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2 x + 6 y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x + 6 y = 2 x + 6 y$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$2 x + 6 y = 2 x + 6 y$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y^{2} + 2 x y + 2 x d x$

Этап 5

Проинтегрируем $M (x, y) = 3 y^{2} + 2 x y + 2 x$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int 3 y^{2} d x + \int 2 x y d x + \int 2 x d x$

Этап 5.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + \int 2 x y d x + \int 2 x d x$

Этап 5.3

Поскольку $2 y$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2 y$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + 2 y \int x d x + \int 2 x d x$

Этап 5.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 x d x$

Этап 5.5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 \int x d x$

Этап 5.6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 5.7

Упростим.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 5.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + 2 \frac{x^{2}}{2} + C$

Этап 5.8.2

Объединим $2$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + \frac{2 x^{2}}{2} + C$

Этап 5.8.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + \frac{2 x^{2}}{2} + C$

Этап 5.8.3.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + g (y)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 6 x y + x^{2} + 3$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Этап 8.2

По правилу суммы производная $3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [3 y^{2} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $3 x$ является константой относительно $y$ , производная $3 y^{2} x$ по $y$ равна $3 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$3 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Этап 8.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x (2 y) + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Этап 8.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x y + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Этап 8.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $y x^{2}$ по $y$ равна $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$6 x y + x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Этап 8.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x y + x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Этап 8.4.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$6 x y + x^{2} + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Этап 8.5

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$6 x y + x^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Этап 8.6

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$6 x y + x^{2} + 0 + \frac{d g}{d y} = 6 x y + x^{2} + 3$

Этап 8.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Добавим $6 x y + x^{2}$ и $0$ .

$6 x y + x^{2} + \frac{d g}{d y} = 6 x y + x^{2} + 3$

Этап 8.7.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} + 6 x y = 6 x y + x^{2} + 3$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} + 6 x y = 6 x y + x^{2} + 3 - x^{2}$

Этап 9.1.2

Вычтем $6 x y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = 6 x y + x^{2} + 3 - x^{2} - 6 x y$

Этап 9.1.3

Объединим противоположные члены в $6 x y + x^{2} + 3 - x^{2} - 6 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 x y + 0 + 3 - 6 x y$

Этап 9.1.3.2

Добавим $6 x y$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 x y + 3 - 6 x y$

Этап 9.1.3.3

Вычтем $6 x y$ из $6 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 + 3$

Этап 9.1.3.4

Добавим $0$ и $3$ .

$\frac{d g}{d y} = 3$

Этап 10

Найдем первообразную $3$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = 3$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 d y$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 d y$

Этап 10.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (y) = 3 y + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + 3 y + C$