Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + 8 y = 2 x^{3} y^{\frac{3}{4}}$

Этап 1

Чтобы решить дифференциальное уравнение, пусть $v = y^{1 - n}$ , где $n$ — показатель степени $y^{\frac{3}{4}}$ .

$v = y^{\frac{1}{4}}$

Этап 2

Решим уравнение относительно $y$ .

$y = v^{4}$

Этап 3

Возьмем производную $y$ по $x$ .

$y' = v^{4}$

Этап 4

Возьмем производную $v^{4}$ по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возьмем производную от $v^{4}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{4}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $v$ .

$y' = \frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [v]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$y' = 4 u^{3} \frac{d}{d x} [v]$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $v$ .

$y' = 4 v^{3} \frac{d}{d x} [v]$

Этап 4.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [v]$ в виде $v'$ .

$y' = 4 v^{3} v'$

Этап 5

Подставим $4 v^{3} v'$ вместо $\frac{d y}{d x}$ и $v^{4}$ вместо $y$ в исходное уравнение $\frac{d y}{d x} + 8 y = 2 x^{3} y^{\frac{3}{4}}$ .

$4 v^{3} v' + 8 v^{4} = 2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Разделим каждый член $4 v^{3} \frac{d v}{d x} + 8 v^{4} = 2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$ на $4 v^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Разделим каждый член $4 v^{3} \frac{d v}{d x} + 8 v^{4} = 2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$ на $4 v^{3}$ .

$\frac{4 v^{3} \frac{d v}{d x}}{4 v^{3}} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Этап 6.1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 v^{3} \frac{d v}{d x}}{4 v^{3}} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Этап 6.1.1.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{v^{3} \frac{d v}{d x}}{v^{3}} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Этап 6.1.1.2.1.2

Сократим общий множитель $v^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{v^{3} \frac{d v}{d x}}{v^{3}} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Этап 6.1.1.2.1.2.2

Разделим $\frac{d v}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Этап 6.1.1.2.1.3

Сократим общий множитель $8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $8 v^{4}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 (2 v^{4})}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Этап 6.1.1.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 v^{3}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 (2 v^{4})}{4 (v^{3})} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Этап 6.1.1.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 (2 v^{4})}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Этап 6.1.1.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v^{4}}{v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Этап 6.1.1.2.1.4

Сократим общий множитель $v^{4}$ и $v^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1.4.1

Вынесем множитель $v^{3}$ из $2 v^{4}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v^{3} (2 v)}{v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Этап 6.1.1.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1.4.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v^{3} (2 v)}{v^{3} \cdot 1} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Этап 6.1.1.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v^{3} (2 v)}{v^{3} \cdot 1} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Этап 6.1.1.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{1} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Этап 6.1.1.2.1.4.2.4

Разделим $2 v$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Этап 6.1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{2 (x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}})}{4 v^{3}}$

Этап 6.1.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 v^{3}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{2 (x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}})}{2 (2 v^{3})}$

Этап 6.1.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{2 (x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}})}{2 (2 v^{3})}$

Этап 6.1.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{2 v^{3}}$

Этап 6.1.1.3.3

Перемножим экспоненты в ${(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} v^{4 (\frac{3}{4})}}{2 v^{3}}$

Этап 6.1.1.3.3.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} v^{4 (\frac{3}{4})}}{2 v^{3}}$

Этап 6.1.1.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} v^{3}}{2 v^{3}}$

Этап 6.1.1.3.4

Сократим общий множитель $v^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} v^{3}}{2 v^{3}}$

Этап 6.1.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3}}{2}$

Этап 6.1.2

Перепишем уравнение с изолированными коэффициентами.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{1}{2} x^{3}$

Этап 6.2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 2 d x}$

Этап 6.2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{2 x + C}$

Этап 6.2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{2 x}$

Этап 6.3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим каждый член на $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + e^{2 x} (2 v) = e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{3})$

Этап 6.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{3})$

Этап 6.3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = \frac{1}{2} e^{2 x} x^{3}$

Этап 6.3.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = \frac{e^{2 x}}{2} x^{3}$

Этап 6.3.5

Объединим $\frac{e^{2 x}}{2}$ и $x^{3}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} x^{3}}{2}$

Этап 6.3.6

Изменим порядок множителей в $e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} x^{3}}{2}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 v e^{2 x} = \frac{x^{3} e^{2 x}}{2}$

Этап 6.4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} v] = \frac{x^{3} e^{2 x}}{2}$

Этап 6.5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} v] d x = \int \frac{x^{3} e^{2 x}}{2} d x$

Этап 6.6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{2 x} v = \int \frac{x^{3} e^{2 x}}{2} d x$

Этап 6.7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} \int x^{3} e^{2 x} d x$

Этап 6.7.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{3}$ и $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (x^{3} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x)$

Этап 6.7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (x^{3} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x)$

Этап 6.7.3.2

Объединим $x^{3}$ и $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x)$

Этап 6.7.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (3 x^{2}) d x)$

Этап 6.7.3.4

Объединим $3$ и $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{3 e^{2 x}}{2} x^{2} d x)$

Этап 6.7.3.5

Объединим $\frac{3 e^{2 x}}{2}$ и $x^{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{3 e^{2 x} x^{2}}{2} d x)$

Этап 6.7.4

Поскольку $\frac{3}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{3}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - (\frac{3}{2} \int e^{2 x} x^{2} d x))$

Этап 6.7.5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x))$

Этап 6.7.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x))$

Этап 6.7.6.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x))$

Этап 6.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) d x))$

Этап 6.7.6.4

Объединим $2$ и $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x}}{2} x d x))$

Этап 6.7.6.5

Объединим $\frac{2 e^{2 x}}{2}$ и $x$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x))$

Этап 6.7.6.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.6.6.1

Сократим общий множитель.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x))$

Этап 6.7.6.6.2

Разделим $e^{2 x} x$ на $1$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} x d x))$

Этап 6.7.7

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)))$

Этап 6.7.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)))$

Этап 6.7.8.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)))$

Этап 6.7.8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)))$

Этап 6.7.9

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))))$

Этап 6.7.10

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.10.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.10.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 6.7.10.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.7.10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 6.7.10.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 6.7.10.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)))$

Этап 6.7.11

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)))$

Этап 6.7.12

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))))$

Этап 6.7.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.13.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)))$

Этап 6.7.13.2

Умножим $2$ на $2$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)))$

Этап 6.7.14

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))))$

Этап 6.7.15

Перепишем $\frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))))$ в виде $\frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8}) + C$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8}) + C$

Этап 6.7.16

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Этап 6.7.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Этап 6.7.17.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.17.2.1

Объединим.

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} (- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Этап 6.7.17.2.2

Умножим $\frac{1}{2} (- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.17.2.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Этап 6.7.17.2.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Этап 6.7.17.2.3

Объединим.

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Этап 6.7.17.2.4

Умножим $\frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.17.2.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3 e^{2 x}}{8}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{2 \cdot 8} + C$

Этап 6.7.17.2.4.2

Умножим $2$ на $8$ .

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

Этап 6.7.17.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.17.3.1

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

Этап 6.7.17.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

Этап 6.7.17.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

Этап 6.7.17.3.4

Умножим $2$ на $4$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

Этап 6.7.18

Изменим порядок членов.

$e^{2 x} v = \frac{1}{4} x^{3} e^{2 x} - \frac{3}{8} x^{2} e^{2 x} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Этап 6.8

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{3}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3}}{4} e^{2 x} - \frac{3}{8} x^{2} e^{2 x} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Этап 6.8.1.2

Объединим $\frac{x^{3}}{4}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{3}{8} x^{2} e^{2 x} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Этап 6.8.1.3

Объединим $x^{2}$ и $\frac{3}{8}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{x^{2} \cdot 3}{8} e^{2 x} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Этап 6.8.1.4

Объединим $e^{2 x}$ и $\frac{x^{2} \cdot 3}{8}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Этап 6.8.1.5

Объединим $\frac{3}{8}$ и $x$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x}{8} e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Этап 6.8.1.6

Объединим $\frac{3 x}{8}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Этап 6.8.1.7

Объединим $e^{2 x}$ и $\frac{3}{16}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16} + C$

Этап 6.8.2

Разделим каждый член $e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16} + C$ на $e^{2 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1

Разделим каждый член $e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16} + C$ на $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{\frac{x^{3} e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 6.8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 6.8.2.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{\frac{x^{3} e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 6.8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 6.8.2.3.1.2

Объединим.

$v = \frac{x^{3} e^{2 x} \cdot 1}{4 e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 6.8.2.3.1.3

Сократим общий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

Этап 6.8.2.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$v = \frac{x^{3} \cdot 1}{4} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 6.8.2.3.1.4

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 6.8.2.3.1.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 6.8.2.3.1.6

Перенесем $3$ влево от $e^{2 x} x^{2}$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 \cdot (e^{2 x} x^{2})}{8} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 6.8.2.3.1.7

Умножим $\frac{1}{e^{2 x}}$ на $\frac{3 e^{2 x} x^{2}}{8}$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 e^{2 x} x^{2}}{e^{2 x} \cdot 8} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 6.8.2.3.1.8

Сократим общий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.3.1.8.1

Сократим общий множитель.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 e^{2 x} x^{2}}{e^{2 x} \cdot 8} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 6.8.2.3.1.8.2

Перепишем это выражение.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 6.8.2.3.1.9

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 6.8.2.3.1.10

Объединим.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x e^{2 x} \cdot 1}{8 e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 6.8.2.3.1.11

Сократим общий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.3.1.11.1

Сократим общий множитель.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x e^{2 x} \cdot 1}{8 e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 6.8.2.3.1.11.2

Перепишем это выражение.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x \cdot 1}{8} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 6.8.2.3.1.12

Умножим $3$ на $1$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 6.8.2.3.1.13

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 6.8.2.3.1.14

Перенесем $3$ влево от $e^{2 x}$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3 \cdot e^{2 x}}{16} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 6.8.2.3.1.15

Умножим $\frac{1}{e^{2 x}}$ на $\frac{3 e^{2 x}}{16}$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3 e^{2 x}}{e^{2 x} \cdot 16} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 6.8.2.3.1.16

Сократим общий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.3.1.16.1

Сократим общий множитель.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3 e^{2 x}}{e^{2 x} \cdot 16} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 6.8.2.3.1.16.2

Перепишем это выражение.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3}{16} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 7

Подставим $y^{\frac{1}{4}}$ вместо $v$ .

$y^{\frac{1}{4}} = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3}{16} + \frac{C}{e^{2 x}}$