Математический анализ Примеры

$10 x y y' = 1 - y^{2}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение.

$10 x y \frac{d y}{d x} = 1 - y^{2}$

Этап 2

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $10 x y \frac{d y}{d x} = 1 - y^{2}$ на $10 x y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разделим каждый член $10 x y \frac{d y}{d x} = 1 - y^{2}$ на $10 x y$ .

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Этап 2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Этап 2.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Этап 2.1.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Этап 2.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Этап 2.1.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Этап 2.1.2.3.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Этап 2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{y (- y)}{10 x y}$

Этап 2.1.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $10 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{y (- y)}{y (10 x)}$

Этап 2.1.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{y (- y)}{y (10 x)}$

Этап 2.1.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y}{10 x}$

Этап 2.1.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} - \frac{y}{10 x}$

Этап 2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы записать $- \frac{y}{10 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} - \frac{y}{10 x} \cdot \frac{y}{y}$

Этап 2.2.2

Умножим $\frac{y}{10 x}$ на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} - \frac{y \cdot y}{10 x y}$

Этап 2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y \cdot y}{10 x y}$

Этап 2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - y \cdot y}{10 x y}$

Этап 2.2.4.2

Перепишем $y \cdot y$ в виде $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - y^{2}}{10 x y}$

Этап 2.2.4.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 x y}$

Этап 2.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 2.4

Умножим обе части на $\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)}$ .

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} (\frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $\frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y x}$

Этап 2.5.2

Сократим общий множитель $10 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем множитель $10 y$ из $10 y x$ .

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y (x)}$

Этап 2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y x}$

Этап 2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{x}$

Этап 2.5.3

Сократим общий множитель $(1 + y) (1 - y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{x}$

Этап 2.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 2.6

Перепишем уравнение.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \frac{1}{x} d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $10$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $10$ из-под знака интеграла.

$10 \int \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.2

Пусть $u = (1 + y) (1 - y)$ . Тогда $d u = - 2 y d y$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = y d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Пусть $u = (1 + y) (1 - y)$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Дифференцируем $(1 + y) (1 - y)$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + y) (1 - y)]$

Этап 3.2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = 1 + y$ и $g (y) = 1 - y$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [1 - y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 3.2.2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

По правилу суммы производная $1 - y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 3.2.2.1.3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$(1 + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 3.2.2.1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [- y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 3.2.2.1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- \frac{d}{d y} [y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 3.2.2.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 \cdot 1) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 3.2.2.1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(1 + y) \cdot - 1 + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 3.2.2.1.3.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $1 + y$ .

$- 1 \cdot (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 3.2.2.1.3.6.3

Перепишем $- 1 (1 + y)$ в виде $- (1 + y)$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 3.2.2.1.3.7

По правилу суммы производная $1 + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$- (1 + y) + (1 - y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y])$

Этап 3.2.2.1.3.8

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$- (1 + y) + (1 - y) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Этап 3.2.2.1.3.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [y]$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 3.2.2.1.3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \cdot 1$

Этап 3.2.2.1.3.11

Умножим $1 - y$ на $1$ .

$- (1 + y) + 1 - y$

Этап 3.2.2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 \cdot 1 - y + 1 - y$

Этап 3.2.2.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.4.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 - y + 1 - y$

Этап 3.2.2.1.4.2.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$- y + 0 - y$

Этап 3.2.2.1.4.2.3

Добавим $- y$ и $0$ .

$- y - y$

Этап 3.2.2.1.4.2.4

Вычтем $y$ из $- y$ .

$- 2 y$

Этап 3.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$10 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$10 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.3.2

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$10 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.3.3

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$10 \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$10 (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.5

Умножим $- 1$ на $10$ .

$- 10 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- 10 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 10$ .

$\frac{- 10}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.7.2

Сократим общий множитель $- 10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 5}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.7.2.2.4

Разделим $- 5$ на $1$ .

$- 5 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- 5 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.9

Упростим.

$- 5 \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.10

Заменим все вхождения $u$ на $(1 + y) (1 - y)$ .

$- 5 \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- 5 \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- 5 \ln (| (1 + y) (1 - y) |) = \ln (| x |) + C$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- 5 \ln (| (1 + y) (1 - y) |) - \ln (| x |) = C$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Развернем $(1 + y) (1 - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 \ln (| 1 (1 - y) + y (1 - y) |) - \ln (| x |) = C$

Этап 4.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y) |) - \ln (| x |) = C$

Этап 4.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |) - \ln (| x |) = C$

Этап 4.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$- 5 \ln (| 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |) - \ln (| x |) = C$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $- y$ на $1$ .

$- 5 \ln (| 1 - y + y \cdot 1 + y (- y) |) - \ln (| x |) = C$

Этап 4.2.2.1.3

Умножим $y$ на $1$ .

$- 5 \ln (| 1 - y + y + y (- y) |) - \ln (| x |) = C$

Этап 4.2.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 5 \ln (| 1 - y + y - y \cdot y |) - \ln (| x |) = C$

Этап 4.2.2.1.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.5.1

Перенесем $y$ .

$- 5 \ln (| 1 - y + y - (y \cdot y) |) - \ln (| x |) = C$

Этап 4.2.2.1.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$- 5 \ln (| 1 - y + y - y^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Этап 4.2.2.2

Добавим $- y$ и $y$ .

$- 5 \ln (| 1 + 0 - y^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Этап 4.2.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$- 5 \ln (| 1 - y^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Этап 4.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим $- 5 \ln (| 1 - y^{2} |)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) - \ln (| x |) = C$

Этап 4.4

Добавим $\ln (| x |)$ к обеим частям уравнения.

$- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = C + \ln (| x |)$

Этап 4.5

Разделим каждый член $- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = C + \ln (| x |)$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Разделим каждый член $- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = C + \ln (| x |)$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5})}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 4.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5})}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 4.5.2.2

Разделим $\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5})$ на $1$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 4.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 4.5.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 4.5.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Этап 4.5.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot \ln (| x |)$ в виде $- \ln (| x |)$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = - C - \ln (| x |)$

Этап 4.6

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) + \ln (| x |) = - C$

Этап 4.7

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5} | x |) = - C$

Этап 4.8

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5} | x |)} = e^{- C}$

Этап 4.9

Перепишем $\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5} | x |) = - C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = {| 1 - y^{2} |}^{5} | x |$

Этап 4.10

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Перепишем уравнение в виде ${| 1 - y^{2} |}^{5} | x | = e^{- C}$ .

${| 1 - y^{2} |}^{5} | x | = e^{- C}$

Этап 4.10.2

Разделим каждый член ${| 1 - y^{2} |}^{5} | x | = e^{- C}$ на $| x |$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1

Разделим каждый член ${| 1 - y^{2} |}^{5} | x | = e^{- C}$ на $| x |$ .

$\frac{{| 1 - y^{2} |}^{5} | x |}{| x |} = \frac{e^{- C}}{| x |}$

Этап 4.10.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.2.1

Сократим общий множитель $| x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{| 1 - y^{2} |}^{5} | x |}{| x |} = \frac{e^{- C}}{| x |}$

Этап 4.10.2.2.1.2

Разделим ${| 1 - y^{2} |}^{5}$ на $1$ .

${| 1 - y^{2} |}^{5} = \frac{e^{- C}}{| x |}$

Этап 4.10.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$| 1 - y^{2} | = \sqrt[5]{\frac{e^{- C}}{| x |}}$

Этап 4.10.4

Упростим $\sqrt[5]{\frac{e^{- C}}{| x |}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.4.1

Перепишем $\sqrt[5]{\frac{e^{- C}}{| x |}}$ в виде $\frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}}$

Этап 4.10.4.2

Умножим $\frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}}$ на $\frac{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$

Этап 4.10.4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.4.3.1

Умножим $\frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}}$ на $\frac{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{\sqrt[5]{| x |} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$

Этап 4.10.4.3.2

Возведем $\sqrt[5]{| x |}$ в степень $1$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{1} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$

Этап 4.10.4.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{1 + 4}}$

Этап 4.10.4.3.4

Добавим $1$ и $4$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{5}}$

Этап 4.10.4.3.5

Перепишем ${\sqrt[5]{| x |}}^{5}$ в виде $| x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.4.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{| x |}$ в виде ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{({| x |}^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Этап 4.10.4.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{| x |}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Этап 4.10.4.3.5.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{| x |}^{\frac{5}{5}}}$

Этап 4.10.4.3.5.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.4.3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{| x |}^{\frac{5}{5}}}$

Этап 4.10.4.3.5.4.2

Перепишем это выражение.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{| x |}^{1}}$

Этап 4.10.4.3.5.5

Упростим.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{| x |}$

Этап 4.10.4.4

Перепишем ${\sqrt[5]{| x |}}^{4}$ в виде $\sqrt[5]{{| x |}^{4}}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} \sqrt[5]{{| x |}^{4}}}{| x |}$

Этап 4.10.4.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C} {| x |}^{4}}}{| x |}$

Этап 4.10.4.6

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[5]{e^{- C} {| x |}^{4}}}{| x |}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{{| x |}^{4} e^{- C}}}{| x |}$

Этап 4.10.5

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$1 - y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{{| x |}^{4} e^{- C}}}{| x |}$

Этап 4.10.6

Уберем знак модуля в ${| x |}^{4}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$1 - y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}$

Этап 4.10.7

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |} - 1$

Этап 4.10.8

Разделим каждый член $- y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |} - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.8.1

Разделим каждый член $- y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |} - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.10.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.8.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.10.8.2.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.10.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.8.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}) + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.10.8.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |})$ в виде $- (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |})$ .

$y^{2} = - (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}) + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.10.8.3.1.3

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$y^{2} = - (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}) + 1$

Этап 4.10.9

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}) + 1}$

Этап 5

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} C}}{| x |}) + 1}$