Математический анализ Примеры

$4 (y d) x + 3 x d y = 0$

Этап 1

Вычтем $4 y d x$ из обеих частей уравнения.

$3 x d y = - 4 y d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Этап 3.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Этап 3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3}{y} d y = - 4 \frac{1}{x y} y d x$

Этап 3.5

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 4}{x y} y d x$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 4}{y x} y d x$

Этап 3.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 4}{y x} y d x$

Этап 3.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 4}{x} d x$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{4}{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{3}{y} d y = \int - \frac{4}{x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{4}{x} d x$

Этап 4.2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{4}{x} d x$

Этап 4.2.3

Упростим.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{4}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{4}{x} d x$

Этап 4.3.2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - (4 \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 4.3.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 4 (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 4.3.5

Упростим.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 4 \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$3 \ln (| y |) = - 4 \ln (| x |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$3 \ln (| y |) + 4 \ln (| x |) = C$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $3 \ln (| y |) + 4 \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Упростим $3 \ln (| y |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\ln ({| y |}^{3}) + 4 \ln (| x |) = C$

Этап 5.2.1.1.2

Упростим $4 \ln (| x |)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln ({| x |}^{4}) = C$

Этап 5.2.1.1.3

Уберем знак модуля в ${| x |}^{4}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln (x^{4}) = C$

Этап 5.2.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| y |}^{3} x^{4}) = C$

Этап 5.2.1.3

Изменим порядок множителей в $\ln ({| y |}^{3} x^{4})$ .

$\ln (x^{4} {| y |}^{3}) = C$

Этап 5.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x^{4} {| y |}^{3})} = e^{C}$

Этап 5.4

Перепишем $\ln (x^{4} {| y |}^{3}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = x^{4} {| y |}^{3}$

Этап 5.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $x^{4} {| y |}^{3} = e^{C}$ .

$x^{4} {| y |}^{3} = e^{C}$

Этап 5.5.2

Разделим каждый член $x^{4} {| y |}^{3} = e^{C}$ на $x^{4}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Разделим каждый член $x^{4} {| y |}^{3} = e^{C}$ на $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} {| y |}^{3}}{x^{4}} = \frac{e^{C}}{x^{4}}$

Этап 5.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{4} {| y |}^{3}}{x^{4}} = \frac{e^{C}}{x^{4}}$

Этап 5.5.2.2.1.2

Разделим ${| y |}^{3}$ на $1$ .

${| y |}^{3} = \frac{e^{C}}{x^{4}}$

Этап 5.5.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{4}}}$

Этап 5.5.4

Упростим $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{4}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Перепишем $\frac{e^{C}}{x^{4}}$ в виде ${(\frac{1}{x})}^{3} \frac{e^{C}}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.1

Вынесем полную степень $1^{3}$ из $e^{C}$ .

$| y | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{C}}{x^{4}}}$

Этап 5.5.4.1.2

Вынесем полную степень $x^{3}$ из $x^{4}$ .

$| y | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{C}}{x^{3} x}}$

Этап 5.5.4.1.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{3} e^{C}}{x^{3} x}$ .

$| y | = \sqrt[3]{{(\frac{1}{x})}^{3} \frac{e^{C}}{x}}$

Этап 5.5.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| y | = \frac{1}{x} \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x}}$

Этап 5.5.4.3

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$| y | = \frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x}}$

Этап 5.5.4.4

Объединим.

$| y | = \frac{1 \sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}}$

Этап 5.5.4.5

Умножим $\sqrt[3]{e^{C}}$ на $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}}$

Этап 5.5.4.6

Умножим $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Этап 5.5.4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.7.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Этап 5.5.4.7.2

Перенесем $\sqrt[3]{x}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x (\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2})}$

Этап 5.5.4.7.3

Возведем $\sqrt[3]{x}$ в степень $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x ({\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2})}$

Этап 5.5.4.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Этап 5.5.4.7.5

Добавим $1$ и $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Этап 5.5.4.7.6

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 5.5.4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 5.5.4.7.6.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.5.4.7.6.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.5.4.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{1}}$

Этап 5.5.4.7.6.5

Упростим.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x}$

Этап 5.5.4.8

Умножим $x$ на $x$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{2}}$

Этап 5.5.4.9

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2}}}{x^{2}}$

Этап 5.5.4.10

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C} x^{2}}}{x^{2}}$

Этап 5.5.4.11

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[3]{e^{C} x^{2}}}{x^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{C}}}{x^{2}}$

Этап 5.5.5

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{C}}}{x^{2}}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{x^{2}}$