Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} + 3 y = 2$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (t) d t}$ , где $P (t) = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 3 d t}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{3 t + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{3 t}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{3 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{3 t}$ .

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + e^{3 t} (3 y) = e^{3 t} \cdot 2$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = e^{3 t} \cdot 2$

Этап 2.3

Перенесем $2$ влево от $e^{3 t}$ .

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = 2 \cdot e^{3 t}$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = 2 e^{3 t}$ .

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 y e^{3 t} = 2 e^{3 t}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d t} [e^{3 t} y] = 2 e^{3 t}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d t} [e^{3 t} y] d t = \int 2 e^{3 t} d t$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{3 t} y = \int 2 e^{3 t} d t$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{3 t} y = 2 \int e^{3 t} d t$

Этап 6.2

Пусть $u = 3 t$ . Тогда $d u = 3 d t$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Пусть $u = 3 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Дифференцируем $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Этап 6.2.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 6.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 6.2.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 6.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{3 t} y = 2 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Этап 6.3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 t} y = 2 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Этап 6.4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$e^{3 t} y = 2 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Этап 6.5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2$ .

$e^{3 t} y = \frac{2}{3} \int e^{u} d u$

Этап 6.6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{3 t} y = \frac{2}{3} (e^{u} + C)$

Этап 6.7

Упростим.

$e^{3 t} y = \frac{2}{3} e^{u} + C$

Этап 6.8

Заменим все вхождения $u$ на $3 t$ .

$e^{3 t} y = \frac{2}{3} e^{3 t} + C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{3 t} y = \frac{2}{3} e^{3 t} + C$ на $e^{3 t}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{3 t} y = \frac{2}{3} e^{3 t} + C$ на $e^{3 t}$ .

$\frac{e^{3 t} y}{e^{3 t}} = \frac{\frac{2}{3} e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{3 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{3 t} y}{e^{3 t}} = \frac{\frac{2}{3} e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Сократим общий множитель $e^{3 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\frac{2}{3} e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Этап 7.3.1.2

Разделим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$y = \frac{2}{3} + \frac{C}{e^{3 t}}$