Математический анализ Примеры

$y \frac{d y}{d x} = x^{2} - 2 x$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$y d y = (x^{2} - 2 x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int x^{2} - 2 x d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} - 2 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 2 x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 2 x d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 \int x d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (- x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (- x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (- x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 (- x^{2}) + 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y^{2} = - 2 x^{2} + 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Объединим $2$ и $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y^{2} = - 2 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- 2 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{- 2 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2}) + \frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $\frac{2 x^{3}}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2}) + 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2}) + 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

Этап 3.4.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x^{2}) + 2 \frac{x^{3}}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2} + \frac{x^{3}}{3}) + 2 K}$

Этап 3.4.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x^{2} + \frac{x^{3}}{3}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + K)}$

Этап 3.4.2

Чтобы записать $- x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{3}}{3} + K)}$

Этап 3.4.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Объединим $- x^{2}$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{- x^{2} \cdot 3}{3} + \frac{x^{3}}{3} + K)}$

Этап 3.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{- x^{2} \cdot 3 + x^{3}}{3} + K)}$

Этап 3.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2} \cdot 3 + x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2} \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{2} (- 1 \cdot 3) + x^{3}}{3} + K)}$

Этап 3.4.4.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{2} (- 1 \cdot 3) + x^{2} x}{3} + K)}$

Этап 3.4.4.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (- 1 \cdot 3) + x^{2} x$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{2} (- 1 \cdot 3 + x)}{3} + K)}$

Этап 3.4.4.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{2} (- 3 + x)}{3} + K)}$

Этап 3.4.5

Чтобы записать $K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{2} (- 3 + x)}{3} + K \cdot \frac{3}{3})}$

Этап 3.4.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Объединим $K$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{2} (- 3 + x)}{3} + \frac{K \cdot 3}{3})}$

Этап 3.4.6.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{2} (- 3 + x) + K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{2} \cdot - 3 + x^{2} x + K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.7.2

Перенесем $- 3$ влево от $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 3 \cdot x^{2} + x^{2} x + K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.7.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.3.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 3 \cdot x^{2} + x^{2} x^{1} + K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.7.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 3 \cdot x^{2} + x^{2 + 1} + K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.7.3.2

Добавим $2$ и $1$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 3 \cdot x^{2} + x^{3} + K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.7.4

Перенесем $3$ влево от $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K}{3}}$

Этап 3.4.8

Объединим $2$ и $\frac{- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}{3}}$

Этап 3.4.9

Перепишем $\sqrt{\frac{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.4.10

Умножим $\frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.4.11

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.11.1

Умножим $\frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 3.4.11.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 3.4.11.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 3.4.11.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.11.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 3.4.11.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.11.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.11.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.11.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.11.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.11.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.11.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 3.4.11.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.4.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.12.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{3}$

Этап 3.4.12.2

Умножим $3$ на $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{3}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{3}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{3}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{3}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + K)}}{3}$