Математический анализ Примеры

$\frac{d p}{d x} = \sqrt[23]{\frac{P}{x}}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d p = \sqrt[23]{\frac{P}{x}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d p = \int \sqrt[23]{\frac{P}{x}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$p + C_{1} = \int \sqrt[23]{\frac{P}{x}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем $\sqrt[23]{\frac{P}{x}}$ в виде $\frac{\sqrt[23]{P}}{\sqrt[23]{x}}$ .

$p + C_{1} = \int \frac{\sqrt[23]{P}}{\sqrt[23]{x}} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $\sqrt[23]{P}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\sqrt[23]{P}$ из-под знака интеграла.

$p + C_{1} = \sqrt[23]{P} \int \frac{1}{\sqrt[23]{x}} d x$

Этап 2.3.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[23]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{23}}$ .

$p + C_{1} = \sqrt[23]{P} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{23}}} d x$

Этап 2.3.3.2

Вынесем $x^{\frac{1}{23}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$p + C_{1} = \sqrt[23]{P} \int {(x^{\frac{1}{23}})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.3.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{23}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$p + C_{1} = \sqrt[23]{P} \int x^{\frac{1}{23} \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.3.3.2

Объединим $\frac{1}{23}$ и $- 1$ .

$p + C_{1} = \sqrt[23]{P} \int x^{\frac{- 1}{23}} d x$

Этап 2.3.3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$p + C_{1} = \sqrt[23]{P} \int x^{- \frac{1}{23}} d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{23}}$ по $x$ имеет вид $\frac{23}{22} x^{\frac{22}{23}}$ .

$p + C_{1} = \sqrt[23]{P} (\frac{23}{22} x^{\frac{22}{23}} + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Перепишем $\sqrt[23]{P} (\frac{23}{22} x^{\frac{22}{23}} + C_{2})$ в виде $\sqrt[23]{P} \frac{23}{22} x^{\frac{22}{23}} + C_{2}$ .

$p + C_{1} = \sqrt[23]{P} \frac{23}{22} x^{\frac{22}{23}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Объединим $\sqrt[23]{P}$ и $\frac{23}{22}$ .

$p + C_{1} = \frac{\sqrt[23]{P} \cdot 23}{22} x^{\frac{22}{23}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.2

Перенесем $23$ влево от $\sqrt[23]{P}$ .

$p + C_{1} = \frac{23 \cdot \sqrt[23]{P}}{22} x^{\frac{22}{23}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.3

Объединим $\frac{23 \sqrt[23]{P}}{22}$ и $x^{\frac{22}{23}}$ .

$p + C_{1} = \frac{23 \sqrt[23]{P} x^{\frac{22}{23}}}{22} + C_{2}$

$p + C_{1} = \frac{23}{22} \sqrt[23]{P} x^{\frac{22}{23}} + C_{2}$

Этап 2.3.6

Изменим порядок членов.

$p + C_{1} = \frac{23}{22} x^{\frac{22}{23}} \sqrt[23]{P} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$p = \frac{23}{22} x^{\frac{22}{23}} \sqrt[23]{P} + K$