Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 1}{y^{2} + 1}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y^{2} + 1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{x^{2} - 1}{y^{2} + 1}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{x^{2} - 1^{2}}{y^{2} + 1}$

Этап 1.2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{y^{2} + 1}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{y^{2} + 1}$

Этап 1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1)$

Этап 1.2.3

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x (x - 1) + 1 (x - 1)$

Этап 1.2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)$

Этап 1.2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Этап 1.2.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Этап 1.2.4.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1$

Этап 1.2.4.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1$

Этап 1.2.4.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1$

Этап 1.2.4.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + x - 1$

Этап 1.2.4.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 0 - 1$

Этап 1.2.4.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$(y^{2} + 1) d y = (x^{2} - 1) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{2} + 1 d y = \int x^{2} - 1 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int y^{2} d y + \int d y = \int x^{2} - 1 d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int d y = \int x^{2} - 1 d x$

Этап 2.2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + y + C_{2} = \int x^{2} - 1 d x$

Этап 2.2.4

Упростим.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} - 1 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - 1 d x$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - x + C_{5}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$