Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y^{2} = 4 x^{3} y^{2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $3 x^{2} y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} y^{2} - 3 x^{2} y^{2}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $x^{2} y^{2}$ из $4 x^{3} y^{2} - 3 x^{2} y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $x^{2} y^{2}$ из $4 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y^{2} (4 x) - 3 x^{2} y^{2}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $x^{2} y^{2}$ из $- 3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y^{2} (4 x) + x^{2} y^{2} (- 3)$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $x^{2} y^{2}$ из $x^{2} y^{2} (4 x) + x^{2} y^{2} (- 3)$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y^{2} (4 x - 3)$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (x^{2} y^{2} (4 x - 3))$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x^{2} y^{2} (4 x - 3)$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (x^{2} (4 x - 3)))$

Этап 1.4.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (x^{2} (4 x - 3)))$

Этап 1.4.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x^{2} (4 x - 3)$

Этап 1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3$

Этап 1.4.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 3$

Этап 1.4.4

Перенесем $- 3$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} x - 3 \cdot x^{2}$

Этап 1.4.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 (x \cdot x^{2}) - 3 \cdot x^{2}$

Этап 1.4.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 (x^{1} x^{2}) - 3 \cdot x^{2}$

Этап 1.4.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{1 + 2} - 3 \cdot x^{2}$

Этап 1.4.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 3 \cdot x^{2}$

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 3 x^{2}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = (4 x^{3} - 3 x^{2}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Этап 2.2.3

Перепишем $- y^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Упростим.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{4}{4} x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{4}{4} x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.3

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.4

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{- 3}{3} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.5

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.5.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{- 1}{1} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.5.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} - x^{3} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{y} = x^{4} - x^{3} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1, 1, 1$

Этап 3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 3.2

Каждый член в $- \frac{1}{y} = x^{4} - x^{3} + K$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y} = x^{4} - x^{3} + K$ на $y$ .

$- \frac{1}{y} y = x^{4} y - x^{3} y + K y$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y} y = x^{4} y - x^{3} y + K y$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y} y = x^{4} y - x^{3} y + K y$

Этап 3.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = x^{4} y - x^{3} y + K y$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{4} y - x^{3} y + K y = - 1$ .

$x^{4} y - x^{3} y + K y = - 1$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $x^{4} y - x^{3} y + K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x^{4} y$ .

$y x^{4} - x^{3} y + K y = - 1$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $- x^{3} y$ .

$y x^{4} + y (- x^{3}) + K y = - 1$

Этап 3.3.2.3

Вынесем множитель $y$ из $K y$ .

$y x^{4} + y (- x^{3}) + y K = - 1$

Этап 3.3.2.4

Вынесем множитель $y$ из $y x^{4} + y (- x^{3})$ .

$y (x^{4} - x^{3}) + y K = - 1$

Этап 3.3.2.5

Вынесем множитель $y$ из $y (x^{4} - x^{3}) + y K$ .

$y (x^{4} - x^{3} + K) = - 1$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $y (x^{4} - x^{3} + K) = - 1$ на $x^{4} - x^{3} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $y (x^{4} - x^{3} + K) = - 1$ на $x^{4} - x^{3} + K$ .

$\frac{y (x^{4} - x^{3} + K)}{x^{4} - x^{3} + K} = \frac{- 1}{x^{4} - x^{3} + K}$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $x^{4} - x^{3} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x^{4} - x^{3} + K)}{x^{4} - x^{3} + K} = \frac{- 1}{x^{4} - x^{3} + K}$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 1}{x^{4} - x^{3} + K}$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{x^{4} - x^{3} + K}$