Математический анализ Примеры

$\frac{d A}{d t} = 2 A$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{A}$ .

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = \frac{1}{A} (2 A)$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = 2 \frac{1}{A} A$

Этап 1.2.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{A}$ .

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = \frac{2}{A} A$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = \frac{2}{A} A$

Этап 1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = 2$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{A} d A = 2 d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{A} d A = \int 2 d t$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{A}$ по $A$ имеет вид $\ln (| A |)$ .

$\ln (| A |) + C_{1} = \int 2 d t$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| A |) + C_{1} = 2 t + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| A |) = 2 t + C$

Этап 3

Решим относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $A$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| A |)} = e^{2 t + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| A |) = 2 t + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2 t + C} = | A |$

Этап 3.3

Решим относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| A | = e^{2 t + C}$ .

$| A | = e^{2 t + C}$

Этап 3.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$A = \pm e^{2 t + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{2 t + C}$ в виде $e^{2 t} e^{C}$ .

$A = \pm e^{2 t} e^{C}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{2 t}$ и $e^{C}$ .

$A = \pm e^{C} e^{2 t}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$A = C e^{2 t}$