Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + x e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$d y = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \int x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u_{2} = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ . Тогда $d u_{2} = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$ , следовательно $\frac{1}{- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u_{2} = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$

Этап 2.3.2.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Этап 2.3.2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Этап 2.3.2.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Этап 2.3.2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x^{2}}{2}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.3.2.1.3.2

Объединим $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Этап 2.3.2.1.3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Этап 2.3.2.1.3.4.2

Объединим $- 2$ и $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Этап 2.3.2.1.3.4.3

Объединим $\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ и $x$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Этап 2.3.2.1.3.4.4

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2}$

Этап 2.3.2.1.3.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

Этап 2.3.2.1.3.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.1.3.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{1}$

Этап 2.3.2.1.3.4.4.2.4

Разделим $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ на $1$ .

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

Этап 2.3.2.1.3.4.5

Изменим порядок множителей в $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - \int - 1 d u_{2}$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = - (- u_{2} + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Упростим.

$y + C_{1} = - - u_{2} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 u_{2} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.2

Умножим $u_{2}$ на $1$ .

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

Этап 2.3.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$y + C_{1} = e^{- \frac{x^{2}}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.4

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + K$