Математический анализ Примеры

$(x y) d x - (x + 2) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $x y d x$ из обеих частей уравнения.

$- (x + 2) d y = - x y d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(x + 2) y}$ .

$\frac{1}{(x + 2) y} (- (x + 2)) d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{1}{(x + 2) y} (x + 2) d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(x + 2) y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{(x + 2) y} (x + 2) d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x + 2) y$ .

$\frac{- 1}{(x + 2) (y)} (x + 2) d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{(x + 2) y} (x + 2) d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

Этап 3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{y} d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

Этап 3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(x + 2) y} (x y) d x$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(x + 2) y}$ в числитель.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(x + 2) y} (x y) d x$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $y$ из $(x + 2) y$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 2)} (x y) d x$

Этап 3.5.3

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 2)} (y x) d x$

Этап 3.5.4

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 2)} (y x) d x$

Этап 3.5.5

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x + 2} x d x$

Этап 3.6

Объединим $\frac{- 1}{x + 2}$ и $x$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- x}{x + 2} d x$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{x}{x + 2} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{x + 2} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{x + 2} d x$

Этап 4.2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{x}{x + 2} d x$

Этап 4.2.3

Упростим.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x + 2} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{x + 2} d x$

Этап 4.3.2

Разделим $x$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x$

$0$

Этап 4.3.2.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$1$
	$x$	+	$2$		$x$	+	$0$

Этап 4.3.2.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$2$

Этап 4.3.2.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 2$ .

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$

Этап 4.3.2.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$
					-	$2$

Этап 4.3.2.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int 1 - \frac{2}{x + 2} d x$

Этап 4.3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (\int d x + \int - \frac{2}{x + 2} d x)$

Этап 4.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} + \int - \frac{2}{x + 2} d x)$

Этап 4.3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - \int \frac{2}{x + 2} d x)$

Этап 4.3.6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x + 2} d x))$

Этап 4.3.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Этап 4.3.8

Пусть $u = x + 2$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Пусть $u = x + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1.1

Дифференцируем $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 4.3.8.1.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.3.8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.3.8.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.3.8.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.3.8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 4.3.9

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - 2 (\ln (| u |) + C_{3}))$

Этап 4.3.10

Упростим.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x - 2 \ln (| u |)) + C_{4}$

Этап 4.3.11

Заменим все вхождения $u$ на $x + 2$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x - 2 \ln (| x + 2 |)) + C_{4}$

Этап 4.3.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - x - (- 2 \ln (| x + 2 |)) + C_{4}$

Этап 4.3.12.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - x + 2 \ln (| x + 2 |) + C_{4}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \ln (| y |) = - x + 2 \ln (| x + 2 |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- \ln (| y |) - 2 \ln (| x + 2 |) = - x + C$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $- 2 \ln (| x + 2 |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$- \ln (| y |) - \ln ({| x + 2 |}^{2}) = - x + C$

Этап 5.2.1.2

Уберем знак модуля в ${| x + 2 |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$- \ln (| y |) - \ln ({(x + 2)}^{2}) = - x + C$

Этап 5.3

Добавим $\ln ({(x + 2)}^{2})$ к обеим частям уравнения.

$- \ln (| y |) = - x + C + \ln ({(x + 2)}^{2})$

Этап 5.4

Разделим каждый член $- \ln (| y |) = - x + C + \ln ({(x + 2)}^{2})$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $- \ln (| y |) = - x + C + \ln ({(x + 2)}^{2})$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (| y |)}{- 1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (| y |)}{1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

Этап 5.4.2.2

Разделим $\ln (| y |)$ на $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\ln (| y |) = \frac{x}{1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

Этап 5.4.3.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$\ln (| y |) = x + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

Этап 5.4.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y |) = x - 1 \cdot C + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

Этап 5.4.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\ln (| y |) = x - C + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

Этап 5.4.3.1.5

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$ .

$\ln (| y |) = x - C - 1 \cdot \ln ({(x + 2)}^{2})$

Этап 5.4.3.1.6

Перепишем $- 1 \cdot \ln ({(x + 2)}^{2})$ в виде $- \ln ({(x + 2)}^{2})$ .

$\ln (| y |) = x - C - \ln ({(x + 2)}^{2})$

Этап 5.5

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) + \ln ({(x + 2)}^{2}) = x - C$

Этап 5.6

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x - C$

Этап 5.7

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y | {(x + 2)}^{2})} = e^{x - C}$

Этап 5.8

Перепишем $\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x - C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{x - C} = | y | {(x + 2)}^{2}$

Этап 5.9

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Перепишем уравнение в виде $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x - C}$ .

$| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x - C}$

Этап 5.9.2

Разделим каждый член $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x - C}$ на ${(x + 2)}^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.1

Разделим каждый член $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x - C}$ на ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x - C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 5.9.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.2.1

Сократим общий множитель ${(x + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x - C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 5.9.2.2.1.2

Разделим $| y |$ на $1$ .

$| y | = \frac{e^{x - C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 5.9.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{x - C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 6

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 6.2

Перепишем $e^{x + C}$ в виде $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{x} e^{C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 6.3

Изменим порядок $e^{x}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{C} e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 6.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C \frac{C e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$