Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (x)}{y + 6}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y + 6$ .

$(y + 6) \frac{d y}{d x} = (y + 6) \frac{\sin (x)}{y + 6}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$(y + 6) \frac{d y}{d x} = (y + 6) \frac{\sin (x)}{y + 6}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$(y + 6) \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$(y + 6) d y = \sin (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y + 6 d y = \int \sin (x) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int y d y + \int 6 d y = \int \sin (x) d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 6 d y = \int \sin (x) d x$

Этап 2.2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 6 y + C_{2} = \int \sin (x) d x$

Этап 2.2.4

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} + 6 y + C_{3} = \int \sin (x) d x$

Этап 2.3

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 6 y + C_{3} = - \cos (x) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 6 y = - \cos (x) + K$