Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d θ} + e^{y - θ} = 3 e^{y - θ}$

Этап 1

Пусть $v = e^{y - θ}$ . Подставим $v$ вместо $e^{y - θ}$ для всех.

$\frac{d y}{d θ} + v = 3 v$

Этап 2

Найдем $\frac{d v}{d θ}$ , дифференцируя $e^{y - θ}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ имеет вид $f' (g (θ)) g' (θ)$ , где $f (θ) = e^{θ}$ и $g (θ) = y - θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y - θ$ .

$\frac{d v}{d θ} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d θ} [y - θ]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d θ} = e^{u_{1}} \frac{d}{d θ} [y - θ]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y - θ$ .

$\frac{d v}{d θ} = e^{y - θ} \frac{d}{d θ} [y - θ]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $y - θ$ по $θ$ имеет вид $\frac{d}{d θ} [y] + \frac{d}{d θ} [- θ]$ .

$\frac{d v}{d θ} = e^{y - θ} (\frac{d}{d θ} [y] + \frac{d}{d θ} [- θ])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d θ} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{d v}{d θ} = e^{y - θ} (y' + \frac{d}{d θ} [- θ])$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $θ$ , производная $- θ$ по $θ$ равна $- \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$\frac{d v}{d θ} = e^{y - θ} (y' - \frac{d}{d θ} [θ])$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{d v}{d θ} = e^{y - θ} (y' - 1 \cdot 1)$

Этап 2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{d v}{d θ} = e^{y - θ} (y' - 1)$

Этап 3

Подставим $v$ вместо $e^{y - θ}$ .

$\frac{d v}{d θ} = v (y' - 1)$

Этап 4

Подставим производную обратно в дифференциальное уравнение.

$\frac{\frac{d v}{d θ}}{v} + 1 + v = 3 v$

Этап 5

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Решим относительно $\frac{d v}{d θ}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перенесем все члены без $\frac{d v}{d θ}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\frac{\frac{d v}{d θ}}{v} + v = 3 v - 1$

Этап 5.1.1.2

Вычтем $v$ из обеих частей уравнения.

$\frac{\frac{d v}{d θ}}{v} = 3 v - 1 - v$

Этап 5.1.1.3

Вычтем $v$ из $3 v$ .

$\frac{\frac{d v}{d θ}}{v} = 2 v - 1$

Этап 5.1.2

Умножим обе части на $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d θ}}{v} v = (2 v - 1) v$

Этап 5.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d v}{d θ}}{v} v = (2 v - 1) v$

Этап 5.1.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d θ} = (2 v - 1) v$

Этап 5.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1

Упростим $(2 v - 1) v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d v}{d θ} = 2 v \cdot v - 1 v$

Этап 5.1.3.2.1.2

Умножим $v$ на $v$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1.2.1

Перенесем $v$ .

$\frac{d v}{d θ} = 2 (v \cdot v) - 1 v$

Этап 5.1.3.2.1.2.2

Умножим $v$ на $v$ .

$\frac{d v}{d θ} = 2 v^{2} - 1 v$

Этап 5.1.3.2.1.3

Перепишем $- 1 v$ в виде $- v$ .

$\frac{d v}{d θ} = 2 v^{2} - v$

Этап 5.2

Умножим обе части на $\frac{1}{2 v^{2} - v}$ .

$\frac{1}{2 v^{2} - v} \frac{d v}{d θ} = \frac{1}{2 v^{2} - v} (2 v^{2} - v)$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $2 v^{2} - v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 v^{2} - v} \frac{d v}{d θ} = \frac{1}{2 v^{2} - v} (2 v^{2} - v)$

Этап 5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 v^{2} - v} \frac{d v}{d θ} = 1$

Этап 5.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{2 v^{2} - v} d v = 1 d θ$

Этап 6

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{2 v^{2} - v} d v = \int d θ$

Этап 6.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Вынесем множитель $v$ из $2 v^{2} - v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1.1

Вынесем множитель $v$ из $2 v^{2}$ .

$\frac{1}{v (2 v) - v}$

Этап 6.2.1.1.1.2

Вынесем множитель $v$ из $- v$ .

$\frac{1}{v (2 v) + v \cdot - 1}$

Этап 6.2.1.1.1.3

Вынесем множитель $v$ из $v (2 v) + v \cdot - 1$ .

$\frac{1}{v (2 v - 1)}$

Этап 6.2.1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{2 v - 1}$

Этап 6.2.1.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $v (2 v - 1)$ .

$\frac{1 (v (2 v - 1))}{v (2 v - 1)} = \frac{A (v (2 v - 1))}{v} + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Этап 6.2.1.1.4

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (v (2 v - 1))}{v (2 v - 1)} = \frac{A (v (2 v - 1))}{v} + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Этап 6.2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (2 v - 1)}{2 v - 1} = \frac{A (v (2 v - 1))}{v} + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Этап 6.2.1.1.5

Сократим общий множитель $2 v - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (2 v - 1)}{2 v - 1} = \frac{A (v (2 v - 1))}{v} + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Этап 6.2.1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (v (2 v - 1))}{v} + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Этап 6.2.1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.6.1

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (v (2 v - 1))}{v} + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Этап 6.2.1.1.6.1.2

Разделим $A (2 v - 1)$ на $1$ .

$1 = A (2 v - 1) + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Этап 6.2.1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A (2 v) + A \cdot - 1 + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Этап 6.2.1.1.6.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 2 A v + A \cdot - 1 + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Этап 6.2.1.1.6.4

Перенесем $- 1$ влево от $A$ .

$1 = 2 A v - 1 \cdot A + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Этап 6.2.1.1.6.5

Перепишем $- 1 A$ в виде $- A$ .

$1 = 2 A v - A + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Этап 6.2.1.1.6.6

Сократим общий множитель $2 v - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.6.6.1

Сократим общий множитель.

$1 = 2 A v - A + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Этап 6.2.1.1.6.6.2

Разделим $B v$ на $1$ .

$1 = 2 A v - A + B v$

Этап 6.2.1.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.7.1

Перенесем $A$ .

$1 = 2 v A - A + B v$

Этап 6.2.1.1.7.2

Изменим порядок $B$ и $v$ .

$1 = 2 v A - A + B v$

Этап 6.2.1.1.7.3

Перенесем $- A$ .

$1 = 2 v A + B v - A$

Этап 6.2.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $v$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = 2 A + B$

Этап 6.2.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $v$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = - 1 A$

Этап 6.2.1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = 2 A + B$

$1 = - 1 A$

$0 = 2 A + B$

$1 = - 1 A$

Этап 6.2.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = - 1 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 A = 1$ .

$- 1 A = 1$

$0 = 2 A + B$

Этап 6.2.1.3.1.2

Разделим каждый член $- 1 A = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1.2.1

Разделим каждый член $- 1 A = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = 2 A + B$

Этап 6.2.1.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = 2 A + B$

Этап 6.2.1.3.1.2.2.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = 2 A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = 2 A + B$

Этап 6.2.1.3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$A = - 1$

$0 = 2 A + B$

$A = - 1$

$0 = 2 A + B$

$A = - 1$

$0 = 2 A + B$

$A = - 1$

$0 = 2 A + B$

Этап 6.2.1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = 2 A + B$ на $- 1$ .

$0 = 2 (- 1) + B$

$A = - 1$

Этап 6.2.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 = - 2 + B$

$A = - 1$

$0 = - 2 + B$

$A = - 1$

$0 = - 2 + B$

$A = - 1$

Этап 6.2.1.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - 2 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 + B = 0$ .

$- 2 + B = 0$

$A = - 1$

Этап 6.2.1.3.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

Этап 6.2.1.3.4

Решим систему уравнений.

$B = 2 A = - 1$

Этап 6.2.1.3.5

Перечислим все решения.

$B = 2, A = - 1$

Этап 6.2.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{v} + \frac{B}{2 v - 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$- \frac{1}{v} + \frac{2}{2 v - 1}$

Этап 6.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{1}{v} + \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d θ$

Этап 6.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - \frac{1}{v} d v + \int \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d θ$

Этап 6.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $v$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{v} d v + \int \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d θ$

Этап 6.2.4

Интеграл $\frac{1}{v}$ по $v$ имеет вид $\ln (| v |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d θ$

Этап 6.2.5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $v$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + 2 \int \frac{1}{2 v - 1} d v = \int d θ$

Этап 6.2.6

Пусть $u_{2} = 2 v - 1$ . Тогда $d u_{2} = 2 d v$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d v$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Пусть $u_{2} = 2 v - 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1.1

Дифференцируем $2 v - 1$ .

$\frac{d}{d v} [2 v - 1]$

Этап 6.2.6.1.2

По правилу суммы производная $2 v - 1$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Этап 6.2.6.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d v} [2 v]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $v$ , производная $2 v$ по $v$ равна $2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$2 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Этап 6.2.6.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Этап 6.2.6.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Этап 6.2.6.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $v$ , производная $- 1$ относительно $v$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 6.2.6.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 6.2.6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} = \int d θ$

Этап 6.2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int d θ$

Этап 6.2.7.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d θ$

Этап 6.2.8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d θ$

Этап 6.2.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.9.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d θ$

Этап 6.2.9.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.9.2.1

Сократим общий множитель.

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d θ$

Этап 6.2.9.2.2

Перепишем это выражение.

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d θ$

Этап 6.2.9.3

Умножим $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ на $1$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d θ$

Этап 6.2.10

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \ln (| u_{2} |) + C_{2} = \int d θ$

Этап 6.2.11

Упростим.

$- \ln (| v |) + \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d θ$

Этап 6.2.12

Изменим порядок членов.

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) + C_{3} = \int d θ$

Этап 6.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) + C_{3} = θ + C_{4}$

Этап 6.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) = θ + C$

Этап 7

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = θ + C$

Этап 7.2

Изменим порядок $θ$ и $C$ .

$\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = C + θ$

Этап 7.3

Чтобы решить относительно $v$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |})} = e^{C + θ}$

Этап 7.4

Перепишем $\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = C + θ$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C + θ} = \frac{| u_{2} |}{| v |}$

Этап 7.5

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| u_{2} |}{| v |} = e^{C + θ}$ .

$\frac{| u_{2} |}{| v |} = e^{C + θ}$

Этап 7.5.2

Умножим обе части на $| v |$ .

$\frac{| u_{2} |}{| v |} | v | = e^{C + θ} | v |$

Этап 7.5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.3.1

Сократим общий множитель $| v |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| u_{2} |}{| v |} | v | = e^{C + θ} | v |$

Этап 7.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| u_{2} | = e^{C + θ} | v |$

Этап 7.5.4

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.4.1

Перепишем уравнение в виде $e^{C + θ} | v | = | u_{2} |$ .

$e^{C + θ} | v | = | u_{2} |$

Этап 7.5.4.2

Разделим каждый член $e^{C + θ} | v | = | u_{2} |$ на $e^{C + θ}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.4.2.1

Разделим каждый член $e^{C + θ} | v | = | u_{2} |$ на $e^{C + θ}$ .

$\frac{e^{C + θ} | v |}{e^{C + θ}} = \frac{| u_{2} |}{e^{C + θ}}$

Этап 7.5.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.4.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{C + θ}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{C + θ} | v |}{e^{C + θ}} = \frac{| u_{2} |}{e^{C + θ}}$

Этап 7.5.4.2.2.1.2

Разделим $| v |$ на $1$ .

$| v | = \frac{| u_{2} |}{e^{C + θ}}$

Этап 7.5.4.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + θ}}$

Этап 8

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Изменим порядок членов.

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{θ + C}}$

Этап 8.2

Перепишем $e^{θ + C}$ в виде $e^{θ} e^{C}$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{θ} e^{C}}$

Этап 8.3

Изменим порядок $e^{θ}$ и $e^{C}$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{θ}}$

Этап 9

Заменим все вхождения $v$ на $e^{y - θ}$ .

$e^{y - θ} = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{θ}}$

Этап 10

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y - θ}) = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{θ}})$

Этап 10.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Развернем $\ln (e^{y - θ})$ , вынося $y - θ$ из логарифма.

$(y - θ) \ln (e) = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{θ}})$

Этап 10.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(y - θ) \cdot 1 = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{θ}})$

Этап 10.2.3

Умножим $y - θ$ на $1$ .

$y - θ = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{θ}})$

Этап 10.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y - θ = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + θ}})$

Этап 10.4

Добавим $θ$ к обеим частям уравнения.

$y = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + θ}}) + θ$

Этап 11

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Изменим порядок членов.

$y = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{θ + C}}) + θ$

Этап 11.2

Перепишем $e^{θ + C}$ в виде $e^{θ} e^{C}$ .

$y = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{θ} e^{C}}) + θ$

Этап 11.3

Изменим порядок $e^{θ}$ и $e^{C}$ .

$y = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{θ}}) + θ$