Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = {(3 x + 2)}^{3}$ , $y (0) = 1$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = {(3 x + 2)}^{3} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int {(3 x + 2)}^{3} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int {(3 x + 2)}^{3} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = 3 x + 2$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = 3 x + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $3 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.1.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 + 0$

Этап 2.3.1.1.4.2

Добавим $3$ и $0$ .

$3$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \int u^{3} \frac{1}{3} d u$

Этап 2.3.2

Объединим $u^{3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{3}}{3} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int u^{3} d u$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Перепишем $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ в виде $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3 \cdot 4} u^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.2

Умножим $3$ на $4$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{12} u^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u$ на $3 x + 2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $1$ вместо $y$ в $y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$ .

$1 = \frac{1}{12} {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K = 1$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K = 1$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(0 + 2)}^{4} + K = 1$

Этап 4.2.2

Добавим $0$ и $2$ .

$\frac{1}{12} \cdot 2^{4} + K = 1$

Этап 4.2.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{1}{12} \cdot 16 + K = 1$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{1}{4 (3)} \cdot 16 + K = 1$

Этап 4.2.4.2

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + K = 1$

Этап 4.2.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + K = 1$

Этап 4.2.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \cdot 4 + K = 1$

Этап 4.2.5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $4$ .

$\frac{4}{3} + K = 1$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $\frac{4}{3}$ из обеих частей уравнения.

$K = 1 - \frac{4}{3}$

Этап 4.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$K = \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Этап 4.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$K = \frac{3 - 4}{3}$

Этап 4.3.4

Вычтем $4$ из $3$ .

$K = \frac{- 1}{3}$

Этап 4.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$K = - \frac{1}{3}$

Этап 5

Подставим $- \frac{1}{3}$ вместо $K$ в $y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- \frac{1}{3}$ вместо $K$ .

$y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{3}$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$y = \frac{1}{12} ({(3 x)}^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Применим правило умножения к $3 x$ .

$y = \frac{1}{12} (3^{4} x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.2

Возведем $3$ в степень $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.3

Применим правило умножения к $3 x$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 (3^{3} x^{3}) \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 (27 x^{3}) \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.5

Умножим $27$ на $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 108 x^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.6

Умножим $2$ на $108$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.7

Применим правило умножения к $3 x$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 (3^{2} x^{2}) \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 (9 x^{2}) \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.9

Умножим $9$ на $6$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 4 + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.11

Умножим $4$ на $54$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.12

Умножим $3$ на $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 12 x \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.13

Возведем $2$ в степень $3$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 12 x \cdot 8 + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.14

Умножим $8$ на $12$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 96 x + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.15

Возведем $2$ в степень $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 96 x + 16) - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$y = \frac{1}{3 (4)} (81 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.4.1.2

Вынесем множитель $3$ из $81 x^{4}$ .

$y = \frac{1}{3 (4)} (3 (27 x^{4})) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.4.1.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{1}{3 \cdot 4} (3 (27 x^{4})) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.4.1.4

Перепишем это выражение.

$y = \frac{1}{4} (27 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.4.2

Объединим $27$ и $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{27}{4} x^{4} + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.4.3

Объединим $\frac{27}{4}$ и $x^{4}$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.4.4

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1

Вынесем множитель $12$ из $216 x^{3}$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{3})) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.4.4.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{3})) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.4.4.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.4.5

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.5.1

Вынесем множитель $12$ из $216 x^{2}$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{2})) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.4.5.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{2})) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.4.5.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.4.6

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.6.1

Вынесем множитель $12$ из $96 x$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (12 (8 x)) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.4.6.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (12 (8 x)) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.4.6.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.4.7

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 (3)} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.4.7.2

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.4.7.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.4.7.4

Перепишем это выражение.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{3} \cdot 4 - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.4.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $4$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{4}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{4 - 1}{3}$

Этап 5.4

Вычтем $1$ из $4$ .

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{3}{3}$

Этап 5.5

Разделим $3$ на $3$ .

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + 1$