Математический анализ Примеры

$\frac{d v}{d x} = 1 - 2 v$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{1 - 2 v}$ .

$\frac{1}{1 - 2 v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{1 - 2 v} (1 - 2 v)$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $1 - 2 v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 - 2 v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{1 - 2 v} (1 - 2 v)$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 - 2 v} \frac{d v}{d x} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{1 - 2 v} d v = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{1 - 2 v} d v = \int d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 1 - 2 v$ . Тогда $d u = - 2 d v$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = d v$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 1 - 2 v$ . Найдем $\frac{d u}{d v}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $1 - 2 v$ .

$\frac{d}{d v} [1 - 2 v]$

Этап 2.2.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - 2 v$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [- 2 v]$ .

$\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [- 2 v]$

Этап 2.2.1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $v$ , производная $1$ относительно $v$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d v} [- 2 v]$

Этап 2.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d v} [- 2 v]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $v$ , производная $- 2 v$ по $v$ равна $- 2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d v} [v]$

Этап 2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Этап 2.2.1.1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$0 - 2$

Этап 2.2.1.1.4

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 2$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int d x$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int d x$

Этап 2.2.2.2

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int d x$

Этап 2.2.2.3

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int d x$

Этап 2.2.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u$ на $1 - 2 v$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 v |) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 v |) + C_{1} = x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 v |) = x + C$

Этап 3

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 v |)) = - 2 (x + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 v |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\ln (| 1 - 2 v |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 1 - 2 v |)}{2}) = - 2 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| 1 - 2 v |)}{2}$ в числитель.

$- 2 \frac{- \ln (| 1 - 2 v |)}{2} = - 2 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - 2 v |)}{2} = - 2 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - 2 v |)}{2} = - 2 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$- - \ln (| 1 - 2 v |) = - 2 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - 2 v |) = - 2 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.3.2

Умножим $\ln (| 1 - 2 v |)$ на $1$ .

$\ln (| 1 - 2 v |) = - 2 (x + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 1 - 2 v |) = - 2 x - 2 C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $v$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 1 - 2 v |)} = e^{- 2 x - 2 C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (| 1 - 2 v |) = - 2 x - 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 x - 2 C} = | 1 - 2 v |$

Этап 3.5

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $| 1 - 2 v | = e^{- 2 x - 2 C}$ .

$| 1 - 2 v | = e^{- 2 x - 2 C}$

Этап 3.5.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$1 - 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C}$

Этап 3.5.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} - 1$

Этап 3.5.4

Разделим каждый член $- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Разделим каждый член $- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 v}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Этап 3.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 v}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Этап 3.5.4.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Этап 3.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1.1

Упростим $\frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + \frac{- 1}{- 2}$

Этап 3.5.4.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3.5.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C} + 1}{2}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x + C} + 1}{2}$

Этап 4.2

Перепишем $e^{- 2 x + C}$ в виде $e^{- 2 x} e^{C}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x} e^{C} + 1}{2}$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{- 2 x}$ и $e^{C}$ .

$v = \frac{\pm e^{C} e^{- 2 x} + 1}{2}$

Этап 4.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$v = \frac{C e^{- 2 x} + 1}{2}$