Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \sin (x)$ , $y (π) = 2$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \sin (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \sin (x) d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \sin (x) d x$

Этап 2.3

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - \cos (x) + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $π$ вместо $x$ и $2$ вместо $y$ в $y = - \cos (x) + K$ .

$2 = - \cos (π) + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $- \cos (π) + K = 2$ .

$- \cos (π) + K = 2$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- - \cos (0) + K = 2$

Этап 4.2.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- (- 1 \cdot 1) + K = 2$

Этап 4.2.1.3

Умножим $- (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- - 1 + K = 2$

Этап 4.2.1.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 + K = 2$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$K = 2 - 1$

Этап 4.3.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$K = 1$

Этап 5

Подставим $1$ вместо $K$ в $y = - \cos (x) + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $1$ вместо $K$ .

$y = - \cos (x) + 1$