Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = 0.04 y + 8000$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{0.04 y + 8000}$ .

$\frac{1}{0.04 y + 8000} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{0.04 y + 8000} (0.04 y + 8000)$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $0.04 y + 8000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{0.04 y + 8000} (0.04 y + 8000)$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} \frac{d y}{d t} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} d y = 1 d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{0.04 y + 8000} d y = \int d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 0.04 y + 8000$ . Тогда $d u = 0.04 d y$ , следовательно $\frac{1}{0.04} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 0.04 y + 8000$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем.

$\frac{0.04}{1}$

Этап 2.2.1.1.2

Разделим $0.04$ на $1$ .

$0.04$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{25}{u} d u = \int d t$

Этап 2.2.2

Поскольку $25$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $25$ из-под знака интеграла.

$25 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Этап 2.2.3

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$25 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Этап 2.2.4

Упростим.

$25 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Этап 2.2.5

Заменим все вхождения $u$ на $0.04 y + 8000$ .

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) + C_{1} = \int d t$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) + C_{1} = t + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) = t + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) = t + C$ на $25$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) = t + C$ на $25$ .

$\frac{25 \ln (| 0.04 y + 8000 |)}{25} = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{25 \ln (| 0.04 y + 8000 |)}{25} = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$

Этап 3.1.2.1.2

Разделим $\ln (| 0.04 y + 8000 |)$ на $1$ .

$\ln (| 0.04 y + 8000 |) = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$

Этап 3.2

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 0.04 y + 8000 |)} = e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$

Этап 3.3

Перепишем $\ln (| 0.04 y + 8000 |) = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} = | 0.04 y + 8000 |$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $| 0.04 y + 8000 | = e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$ .

$| 0.04 y + 8000 | = e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$

Этап 3.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$0.04 y + 8000 = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$

Этап 3.4.3

Вычтем $8000$ из обеих частей уравнения.

$0.04 y = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} - 8000$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $0.04 y = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} - 8000$ на $0.04$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $0.04 y = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} - 8000$ на $0.04$ .

$\frac{0.04 y}{0.04} = \frac{\pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $0.04$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.04 y}{0.04} = \frac{\pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\pm e^{\frac{t + C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Этап 3.4.4.3.1.2

Умножим на $1$ .

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{25}})}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Этап 3.4.4.3.1.3

Вынесем множитель $0.04$ из $0.04$ .

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{25}})}{0.04 (1)} + \frac{- 8000}{0.04}$

Этап 3.4.4.3.1.4

Разделим дроби.

$y = \frac{1}{0.04} \cdot \frac{\pm e^{\frac{t + C}{25}}}{1} + \frac{- 8000}{0.04}$

Этап 3.4.4.3.1.5

Разделим $1$ на $0.04$ .

$y = 25 \frac{\pm e^{\frac{t + C}{25}}}{1} + \frac{- 8000}{0.04}$

Этап 3.4.4.3.1.6

Разделим $\pm e^{\frac{t + C}{25}}$ на $1$ .

$y = 25 (\pm e^{\frac{t + C}{25}}) + \frac{- 8000}{0.04}$

Этап 3.4.4.3.1.7

Разделим $- 8000$ на $0.04$ .

$y = 25 (\pm e^{\frac{t + C}{25}}) - 200000$