Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

Этап 1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

Этап 1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

Этап 1.3.1.1.2

Разделим $\sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

Этап 1.3.1.2

Выразим $\tan (\frac{y}{x})$ через синусы и косинусы.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Этап 1.3.1.3

Умножим $\sin (\frac{y}{x}) \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.1

Объединим $\sin (\frac{y}{x})$ и $\frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Этап 1.3.1.3.2

Возведем $\sin (\frac{y}{x})$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{1} (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Этап 1.3.1.3.3

Возведем $\sin (\frac{y}{x})$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{1} (\frac{y}{x}) \sin^{1} (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Этап 1.3.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{{\sin (\frac{y}{x})}^{1 + 1}}{\cos (\frac{y}{x})}$

Этап 1.3.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{2} (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Этап 1.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $\sin (\frac{y}{x})$ из $\sin^{2} (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Этап 1.3.2.2

Разделим дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x})}{1} \cdot \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Этап 1.3.2.3

Переведем $\frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ в $\tan (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x})}{1} \tan (\frac{y}{x})$

Этап 1.3.2.4

Разделим $\sin (\frac{y}{x})$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sin (V) \tan (V)$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \tan (V)$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Упростим $V + \sin (V) \tan (V)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1.1.1

Выразим $\tan (V)$ через синусы и косинусы.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

Этап 6.1.1.1.1.1.2

Умножим $\sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1.1.2.1

Объединим $\sin (V)$ и $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Этап 6.1.1.1.1.1.2.2

Возведем $\sin (V)$ в степень $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{1} (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Этап 6.1.1.1.1.1.2.3

Возведем $\sin (V)$ в степень $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{1} (V) \sin^{1} (V)}{\cos (V)}$

Этап 6.1.1.1.1.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{{\sin (V)}^{1 + 1}}{\cos (V)}$

Этап 6.1.1.1.1.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{2} (V)}{\cos (V)}$

Этап 6.1.1.1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1.2.1

Вынесем множитель $\sin (V)$ из $\sin^{2} (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Этап 6.1.1.1.1.2.2

Разделим дроби.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V)}{1} \cdot \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

Этап 6.1.1.1.1.2.3

Переведем $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ в $\tan (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V)}{1} \tan (V)$

Этап 6.1.1.1.1.2.4

Разделим $\sin (V)$ на $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \tan (V)$

Этап 6.1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sin (V) \tan (V) - V$

Этап 6.1.1.2.2

Объединим противоположные члены в $V + \sin (V) \tan (V) - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1

Вычтем $V$ из $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V) + 0$

Этап 6.1.1.2.2.2

Добавим $\sin (V) \tan (V)$ и $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$

Этап 6.1.1.2.3

Выразим $\tan (V)$ через синусы и косинусы.

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

Этап 6.1.1.2.4

Умножим $\sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.4.1

Объединим $\sin (V)$ и $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Этап 6.1.1.2.4.2

Возведем $\sin (V)$ в степень $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{1} (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Этап 6.1.1.2.4.3

Возведем $\sin (V)$ в степень $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{1} (V) \sin^{1} (V)}{\cos (V)}$

Этап 6.1.1.2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{{\sin (V)}^{1 + 1}}{\cos (V)}$

Этап 6.1.1.2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{2} (V)}{\cos (V)}$

Этап 6.1.1.2.5

Вынесем множитель $\sin (V)$ из $\sin^{2} (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Этап 6.1.1.2.6

Разделим дроби.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V)}{1} \cdot \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

Этап 6.1.1.2.7

Переведем $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ в $\tan (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V)}{1} \tan (V)$

Этап 6.1.1.2.8

Разделим $\sin (V)$ на $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$

Этап 6.1.1.3

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Этап 6.1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Этап 6.1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Этап 6.1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{\sin (V) \tan (V)}$ .

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \cdot \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Этап 6.1.3

Сократим общий множитель $\sin (V) \tan (V)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \cdot \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Этап 6.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 6.1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Разделим дроби.

$\int \frac{1}{\tan (V)} \cdot \frac{1}{\sin (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.1.2

Переведем $\frac{1}{\sin (V)}$ в $\csc (V)$ .

$\int \frac{1}{\tan (V)} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.1.3

Выразим $\tan (V)$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{1}{\frac{\sin (V)}{\cos (V)}} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.1.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

$\int \frac{\cos (V)}{\sin (V)} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.1.5

Переведем $\frac{\cos (V)}{\sin (V)}$ в $\cot (V)$ .

$\int \cot (V) \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2

Поскольку производная $- \csc (V)$ равна $\cot (V) \csc (V)$ , интеграл $\cot (V) \csc (V)$ равен $- \csc (V)$ .

$- \csc (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- \csc (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \csc (V) = \ln (| x |) + C$

Этап 6.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $- \csc (V) = \ln (| x |) + C$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Разделим каждый член $- \csc (V) = \ln (| x |) + C$ на $- 1$ .

$\frac{- \csc (V)}{- 1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 6.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\csc (V)}{1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 6.3.1.2.2

Разделим $\csc (V)$ на $1$ .

$\csc (V) = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 6.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\csc (V) = - 1 \cdot \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Этап 6.3.1.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \ln (| x |)$ в виде $- \ln (| x |)$ .

$\csc (V) = - \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Этап 6.3.1.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\csc (V) = - \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Этап 6.3.1.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\csc (V) = - \ln (| x |) - C$

Этап 6.3.2

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $V$ из-под знака косеканса.

$V = arccsc (- \ln (| x |) - C)$

Этап 6.4

Упростим постоянную интегрирования.

$V = arccsc (- \ln (| x |) + C)$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = arccsc (- \ln (| x |) + C)$

Этап 8

Решим $\frac{y}{x} = arccsc (- \ln (| x |) + C)$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

Этап 8.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

Этап 8.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Изменим порядок множителей в $arccsc (- \ln (| x |) + C) x$ .

$y = x arccsc (- \ln (| x |) + C)$