Математический анализ Примеры

$2 y - (2 x - y) \frac{d y}{d x} = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y + (- (2 x) - - y) \frac{d y}{d x} = 0$

Этап 1.1.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 y + (- 2 x - - y) \frac{d y}{d x} = 0$

Этап 1.1.1.3

Умножим $- - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 y + (- 2 x + 1 y) \frac{d y}{d x} = 0$

Этап 1.1.1.3.2

Умножим $y$ на $1$ .

$2 y + (- 2 x + y) \frac{d y}{d x} = 0$

Этап 1.1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y - 2 x \frac{d y}{d x} + y \frac{d y}{d x} = 0$

Этап 1.1.2

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x \frac{d y}{d x} + y \frac{d y}{d x} = - 2 y$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $- 2 x \frac{d y}{d x} + y \frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $- 2 x \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} (- 2 x) + y (\frac{d y}{d x}) = - 2 y$

Этап 1.1.3.2

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $y \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} (- 2 x) + \frac{d y}{d x} y = - 2 y$

Этап 1.1.3.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $\frac{d y}{d x} (- 2 x) + \frac{d y}{d x} y$ .

$\frac{d y}{d x} (- 2 x + y) = - 2 y$

Этап 1.1.4

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} (- 2 x + y) = - 2 y$ на $- 2 x + y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} (- 2 x + y) = - 2 y$ на $- 2 x + y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (- 2 x + y)}{- 2 x + y} = \frac{- 2 y}{- 2 x + y}$

Этап 1.1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Сократим общий множитель $- 2 x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} (- 2 x + y)}{- 2 x + y} = \frac{- 2 y}{- 2 x + y}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 y}{- 2 x + y}$

Этап 1.1.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{- 2 x + y}$

Этап 1.1.4.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{- (2 x) + y}$

Этап 1.1.4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{- (2 x) - 1 (- y)}$

Этап 1.1.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{- (2 x - y)}$

Этап 1.1.4.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.5.1

Перепишем $- (2 x - y)$ в виде $- 1 (2 x - y)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{- 1 (2 x - y)}$

Этап 1.1.4.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - - \frac{2 y}{2 x - y}$

Этап 1.1.4.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 \frac{2 y}{2 x - y}$

Этап 1.1.4.3.5.4

Умножим $\frac{2 y}{2 x - y}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{2 x - y}$

Этап 1.2

Умножим $\frac{2 y}{2 x - y}$ на $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{2 x - y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$

Этап 1.3

Умножим $\frac{2 y}{2 x - y}$ на $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y \frac{1}{x^{1}}}{(2 x - y) \frac{1}{x^{1}}}$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y \frac{1}{x^{1}}}{2 x \frac{1}{x^{1}} - y \frac{1}{x^{1}}}$

Этап 1.5

Упростим.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y \frac{1}{x^{1}}}{2 x \frac{1}{x} - y \frac{1}{x^{1}}}$

Этап 1.6

Упростим.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y \frac{1}{x^{1}}}{2 x \frac{1}{x} - y \frac{1}{x}}$

Этап 1.7

Упростим.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y \frac{1}{x}}{2 x \frac{1}{x} - y \frac{1}{x}}$

Этап 1.8

Умножим $2 y \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{2}{x}}{2 x \frac{1}{x} - y \frac{1}{x}}$

Этап 1.8.2

Объединим $y$ и $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x}}{2 x \frac{1}{x} - y \frac{1}{x}}$

Этап 1.9

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x}}{2 x \frac{1}{x} - y \frac{1}{x}}$

Этап 1.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x}}{x \cdot 2 \frac{1}{x} - y \frac{1}{x}}$

Этап 1.10.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x}}{x \cdot 2 \frac{1}{x} - y \frac{1}{x}}$

Этап 1.10.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x}}{2 - y \frac{1}{x}}$

Этап 1.10.2

Объединим $\frac{1}{x}$ и $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x}}{2 - \frac{y}{x}}$

Этап 1.11

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{2 y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x} \cdot 2}{2 - \frac{y}{x}}$

Этап 1.11.2

Изменим порядок $\frac{y}{x}$ и $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x}}{2 - \frac{y}{x}}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot V}{2 - V}$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{2 \cdot V}{2 - V}$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Умножим $2$ на $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{2 V}{2 - V}$

Этап 6.1.1.2

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{2 - V} - V$

Этап 6.1.1.3

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{2 - V} - V$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{2 - V} - V$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{2 V}{2 - V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{2 V}{2 - V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{2 V}{2 - V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{2 V}{2 - V} - V}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2

Чтобы записать $- V$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 - V}{2 - V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{2 V}{2 - V} - V \cdot \frac{2 - V}{2 - V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.3.1

Объединим $- V$ и $\frac{2 - V}{2 - V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{2 V}{2 - V} + \frac{- V (2 - V)}{2 - V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{2 V - V (2 - V)}{2 - V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.4.1

Вынесем множитель $V$ из $2 V - V (2 - V)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.4.1.1

Вынесем множитель $V$ из $2 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 2 - V (2 - V)}{2 - V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.1.2

Вынесем множитель $V$ из $- V (2 - V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 2 + V (- (2 - V))}{2 - V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.1.3

Вынесем множитель $V$ из $V \cdot 2 + V (- (2 - V))$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 - (2 - V))}{2 - V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 - 1 \cdot 2 - - V)}{2 - V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 - 2 - - V)}{2 - V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.4

Умножим $- - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.4.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 - 2 + 1 V)}{2 - V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.4.2

Умножим $V$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 - 2 + V)}{2 - V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.5

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (0 + V)}{2 - V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.6

Добавим $0$ и $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V}{2 - V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.5.1

Возведем $V$ в степень $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} V}{2 - V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.5.2

Возведем $V$ в степень $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} V^{1}}{2 - V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1 + 1}}{2 - V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2}}{2 - V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{2 - V} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.7

Умножим $\frac{V^{2}}{2 - V}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{(2 - V) x}$

Этап 6.1.1.3.3.8

Изменим порядок множителей в $\frac{V^{2}}{(2 - V) x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{x (2 - V)}$

Этап 6.1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{2 - V} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.3

Умножим обе части на $\frac{2 - V}{V^{2}}$ .

$\frac{2 - V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 - V}{V^{2}} (\frac{V^{2}}{2 - V} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Умножим $\frac{V^{2}}{2 - V}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 - V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 - V}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(2 - V) x}$

Этап 6.1.4.2

Сократим общий множитель $2 - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.2.1

Вынесем множитель $2 - V$ из $(2 - V) x$ .

$\frac{2 - V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 - V}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(2 - V) (x)}$

Этап 6.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 - V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 - V}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(2 - V) x}$

Этап 6.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 - V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Этап 6.1.4.3

Сократим общий множитель $V^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 - V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Этап 6.1.4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 - V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 6.1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{2 - V}{V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{2 - V}{V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Вынесем $V^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (2 - V) {(V^{2})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(V^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 - V) V^{2 \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int (2 - V) V^{- 2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2

Умножим $(2 - V) V^{- 2}$ .

$\int 2 V^{- 2} - V \cdot V^{- 2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3

Умножим $V$ на $V^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Перенесем $V^{- 2}$ .

$\int 2 V^{- 2} - (V^{- 2} V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.2

Умножим $V^{- 2}$ на $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.2.1

Возведем $V$ в степень $1$ .

$\int 2 V^{- 2} - (V^{- 2} V^{1}) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 2 V^{- 2} - V^{- 2 + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.3

Добавим $- 2$ и $1$ .

$\int 2 V^{- 2} - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 V^{- 2} d V + \int - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $V$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int V^{- 2} d V + \int - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.6

По правилу степени интеграл $V^{- 2}$ по $V$ имеет вид $- V^{- 1}$ .

$2 (- V^{- 1} + C_{1}) + \int - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $V$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (- V^{- 1} + C_{1}) - \int V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.8

Интеграл $V^{- 1}$ по $V$ имеет вид $\ln (| V |)$ .

$2 (- V^{- 1} + C_{1}) - (\ln (| V |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.9.1

Упростим.

$2 (- \frac{1}{V}) - \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.9.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \frac{1}{V} - \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.9.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{V}$ .

$\frac{- 2}{V} - \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.9.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{V} - \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- \frac{2}{V} - \ln (| V |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{2}{V} - \ln (| V |) = \ln (| x |) + C$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$- \frac{2}{\frac{y}{x}} - \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C$

Этап 8

Решим $- \frac{2}{\frac{y}{x}} - \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{2}{\frac{y}{x}} + C$

Этап 8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = 2 (\frac{x}{y}) + C$

Этап 8.2.2

Объединим $2$ и $\frac{x}{y}$ .

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{2 x}{y} + C$

Этап 8.3

Разделим каждый член $- \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{2 x}{y} + C + \ln (| x |)$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Разделим каждый член $- \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{2 x}{y} + C + \ln (| x |)$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (| \frac{y}{x} |)}{- 1} = \frac{\frac{2 x}{y}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 8.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (| \frac{y}{x} |)}{1} = \frac{\frac{2 x}{y}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 8.3.2.2

Разделим $\ln (| \frac{y}{x} |)$ на $1$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\frac{2 x}{y}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 8.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{2 x}{y}}{- 1}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - 1 \cdot \frac{2 x}{y} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 8.3.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{2 x}{y}$ в виде $- \frac{2 x}{y}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{2 x}{y} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 8.3.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{2 x}{y} - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 8.3.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{2 x}{y} - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 8.3.3.1.5

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{2 x}{y} - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Этап 8.3.3.1.6

Перепишем $- 1 \cdot \ln (| x |)$ в виде $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{2 x}{y} - C - \ln (| x |)$

Этап 8.4

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = - \frac{2 x}{y} - C$

Этап 8.5

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = - \frac{2 x}{y} - C$

Этап 8.6

Умножим $| \frac{y}{x} | | x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = - \frac{2 x}{y} - C$

Этап 8.6.2

Объединим $\frac{y}{x}$ и $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{2 x}{y} - C$

Этап 8.7

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Сократим общий множитель.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{2 x}{y} - C$

Этап 8.7.2

Разделим $y$ на $1$ .

$\ln (| y |) = - \frac{2 x}{y} - C$