Математический анализ Примеры

$(3 + 3 y + 3 y^{2}) d x + (x + 2 x y) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 3 + 3 y + 3 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 + 3 y + 3 y^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $3 + 3 y + 3 y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Этап 1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 y$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 y^{2}$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + 3 (2 y)$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + 6 y$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Добавим $0$ и $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 + 6 y$

Этап 1.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 3$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x + 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 2 x y]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x + 2 x y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2 y$ является константой относительно $x$ , производная $2 x y$ по $x$ равна $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $6 y + 3$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2 y + 1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 y + 3 = 2 y + 1$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$6 y + 3 = 2 y + 1$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $6 y + 3$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{6 y + 3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $2 y + 1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{6 y + 3 - (2 y + 1)}{N}$

Этап 4.3

Подставим $x + 2 x y$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $x + 2 x y$ вместо $N$ .

$\frac{6 y + 3 - (2 y + 1)}{x + 2 x y}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 y + 3 - (2 y) - 1 \cdot 1}{x + 2 x y}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{6 y + 3 - 2 y - 1 \cdot 1}{x + 2 x y}$

Этап 4.3.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{6 y + 3 - 2 y - 1}{x + 2 x y}$

Этап 4.3.2.4

Вычтем $2 y$ из $6 y$ .

$\frac{4 y + 3 - 1}{x + 2 x y}$

Этап 4.3.2.5

Вычтем $1$ из $3$ .

$\frac{4 y + 2}{x + 2 x y}$

Этап 4.3.2.6

Вынесем множитель $2$ из $4 y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $4 y$ .

$\frac{2 (2 y) + 2}{x + 2 x y}$

Этап 4.3.2.6.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (2 y) + 2 (1)}{x + 2 x y}$

Этап 4.3.2.6.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 y) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (2 y + 1)}{x + 2 x y}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x + 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (2 y + 1)}{x^{1} + 2 x y}$

Этап 4.3.3.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{2 (2 y + 1)}{x \cdot 1 + 2 x y}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $x$ из $2 x y$ .

$\frac{2 (2 y + 1)}{x \cdot 1 + x (2 y)}$

Этап 4.3.3.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (2 y)$ .

$\frac{2 (2 y + 1)}{x (1 + 2 y)}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $2 y + 1$ и $1 + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Изменим порядок членов.

$\frac{2 (2 y + 1)}{x (2 y + 1)}$

Этап 4.3.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 y + 1)}{x (2 y + 1)}$

Этап 4.3.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int \frac{2}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 5.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 5.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x |)} + C$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $2 \ln (| x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{2})} + C$

Этап 5.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{2} + C$

Этап 5.4.3

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = x^{2} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(3 + 3 y + 3 y^{2}) d x + (x + 2 x y) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $3 + 3 y + 3 y^{2}$ на $x^{2}$ .

$(3 + 3 y + 3 y^{2}) x^{2} d x + (x + 2 x y) d y = 0$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x + 2 x y) d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $x + 2 x y$ на $x^{2}$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x + 2 x y) x^{2} d y = 0$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x \cdot x^{2} + 2 x y x^{2}) d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{1} x^{2} + 2 x y x^{2}) d y = 0$

Этап 6.5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{1 + 2} + 2 x y x^{2}) d y = 0$

Этап 6.5.2

Добавим $1$ и $2$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x y x^{2}) d y = 0$

Этап 6.6

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Перенесем $x^{2}$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 (x^{2} x) y) d y = 0$

Этап 6.6.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 (x^{2} x^{1}) y) d y = 0$

Этап 6.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{2 + 1} y) d y = 0$

Этап 6.6.3

Добавим $2$ и $1$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{3} y) d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + 2 x^{3} y d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = x^{3} + 2 x^{3} y$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int x^{3} d y + \int 2 x^{3} y d y$

Этап 8.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = x^{3} y + C + \int 2 x^{3} y d y$

Этап 8.3

Поскольку $2 x^{3}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2 x^{3}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{3} \int y d y$

Этап 8.4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{3} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 8.5

Упростим.

$f (x, y) = x^{3} y + 2 \cdot \frac{1}{2} x^{3} y^{2} + C$

Этап 8.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

Этап 8.6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = x^{3} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

Этап 8.6.2.2

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = x^{3} y + 1 x^{3} y^{2} + C$

Этап 8.6.3

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$f (x, y) = x^{3} y + x^{3} y^{2} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} y + x^{3} y^{2} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y + x^{3} y^{2} + g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $x^{3} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x^{3} y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Этап 11.3.3

Перенесем $3$ влево от $y$ .

$3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Этап 11.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $x^{3} y^{2}$ по $x$ равна $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 y x^{2} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Этап 11.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 y x^{2} + y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Этап 11.4.3

Перенесем $3$ влево от $y^{2}$ .

$3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Этап 11.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Этап 11.6

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $3 x^{2} y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y$

Этап 12.1.2

Вычтем $3 x^{2} y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y - 3 x^{2} y^{2}$

Этап 12.1.3

Объединим противоположные члены в $3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y - 3 x^{2} y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Изменим порядок множителей в членах $3 y x^{2}$ и $- 3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 x^{2} y + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y - 3 x^{2} y^{2}$

Этап 12.1.3.2

Вычтем $3 x^{2} y$ из $3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 y^{2} x^{2} + 0 - 3 x^{2} y^{2}$

Этап 12.1.3.3

Добавим $3 x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y^{2}$

Этап 12.1.3.4

Изменим порядок множителей в членах $3 y^{2} x^{2}$ и $- 3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 x^{2} y^{2} - 3 x^{2} y^{2}$

Этап 12.1.3.5

Вычтем $3 x^{2} y^{2}$ из $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0$

Этап 12.1.3.6

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$

Этап 13

Найдем первообразную $3 x^{2}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 x^{2} d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 x^{2} d x$

Этап 13.3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$g (x) = 3 \int x^{2} d x$

Этап 13.4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 13.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Перепишем $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ в виде $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 13.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Этап 13.5.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Этап 13.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$g (x) = 1 x^{3} + C$

Этап 13.5.2.3

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$g (x) = x^{3} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = x^{3} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} y + x^{3} y^{2} + x^{3} + C$