Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y}{t} + 2$

Этап 1

Пусть $V = \frac{y}{t}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - V + 2$

Этап 2

Решим $V = \frac{y}{t}$ относительно $y$ .

$y = V t$

Этап 3

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V t$ по $t$ .

$\frac{d y}{d t} = t \frac{d V}{d t} + V$

Этап 4

Подставим $t \frac{d V}{d t} + V$ вместо $\frac{d y}{d t}$ .

$t \frac{d V}{d t} + V = - V + 2$

Этап 5

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d t}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$t \frac{d V}{d t} = - V + 2 - V$

Этап 5.1.1.1.2

Вычтем $V$ из $- V$ .

$t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$

Этап 5.1.1.2

Разделим каждый член $t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$ на $t$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.1

Разделим каждый член $t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$ на $t$ .

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Этап 5.1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Этап 5.1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d t}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Этап 5.1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d V}{d t} = - \frac{2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Этап 5.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d t} = \frac{- 2 V + 2}{t}$

Этап 5.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 V + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 V$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V) + 2}{t}$

Этап 5.1.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V) + 2 (1)}{t}$

Этап 5.1.2.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- V) + 2 (1)$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V + 1)}{t}$

Этап 5.1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{- V + 1}$ .

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{2 (- V + 1)}{t}$

Этап 5.1.4

Сократим общий множитель $- V + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Вынесем множитель $- V + 1$ из $2 (- V + 1)$ .

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{(- V + 1) \cdot 2}{t}$

Этап 5.1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{(- V + 1) \cdot 2}{t}$

Этап 5.1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{2}{t}$

Этап 5.1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{- V + 1} d V = \frac{2}{t} d t$

Этап 5.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{2}{t} d t$

Этап 5.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Пусть $u = - V + 1$ . Тогда $d u = - d V$ , следовательно $- d u = d V$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Пусть $u = - V + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d V}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 5.2.2.1.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 5.2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

Этап 5.2.2.2

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

Этап 5.2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

Этап 5.2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{2}{t} d t$

Этап 5.2.2.5

Упростим.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

Этап 5.2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $- V + 1$ .

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

Этап 5.2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} d t$

Этап 5.2.3.2

Интеграл $\frac{1}{t}$ по $t$ имеет вид $\ln (| t |)$ .

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2})$

Этап 5.2.3.3

Упростим.

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + C_{2}$

Этап 5.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \ln (| - V + 1 |) = 2 \ln (| t |) + C$

Этап 5.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - 2 \ln (| t |) = C$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Упростим $- 2 \ln (| t |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - \ln ({| t |}^{2}) = C$

Этап 5.3.2.1.2

Уберем знак модуля в ${| t |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - \ln (t^{2}) = C$

Этап 5.3.3

Добавим $\ln (t^{2})$ к обеим частям уравнения.

$- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$

Этап 5.3.4

Разделим каждый член $- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Разделим каждый член $- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - V + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Этап 5.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (| - V + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Этап 5.3.4.2.2

Разделим $\ln (| - V + 1 |)$ на $1$ .

$\ln (| - V + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Этап 5.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Этап 5.3.4.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - C + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Этап 5.3.4.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\ln (t^{2})}{- 1}$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - C - 1 \cdot \ln (t^{2})$

Этап 5.3.4.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot \ln (t^{2})$ в виде $- \ln (t^{2})$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - C - \ln (t^{2})$

Этап 5.3.5

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| - V + 1 |) + \ln (t^{2}) = - C$

Этап 5.3.6

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - V + 1 | t^{2}) = - C$

Этап 5.3.7

Изменим порядок множителей в $\ln (| - V + 1 | t^{2})$ .

$\ln (t^{2} | - V + 1 |) = - C$

Этап 5.3.8

Чтобы решить относительно $V$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (t^{2} | - V + 1 |)} = e^{- C}$

Этап 5.3.9

Перепишем $\ln (t^{2} | - V + 1 |) = - C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = t^{2} | - V + 1 |$

Этап 5.3.10

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.1

Перепишем уравнение в виде $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ .

$t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$

Этап 5.3.10.2

Разделим каждый член $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ на $t^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.2.1

Разделим каждый член $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ на $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} | - V + 1 |}{t^{2}} = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Этап 5.3.10.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.2.2.1

Сократим общий множитель $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t^{2} | - V + 1 |}{t^{2}} = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Этап 5.3.10.2.2.1.2

Разделим $| - V + 1 |$ на $1$ .

$| - V + 1 | = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Этап 5.3.10.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$- V + 1 = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Этап 5.3.10.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$

Этап 5.3.10.5

Разделим каждый член $- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.5.1

Разделим каждый член $- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- V}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.3.10.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{V}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.3.10.5.2.2

Разделим $V$ на $1$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.3.10.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.5.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1}$ .

$V = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.3.10.5.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}})$ в виде $- (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}})$ .

$V = - (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.3.10.5.3.1.3

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$V = - (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + 1$

Этап 5.4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$V = - (\pm \frac{C}{t^{2}}) + 1$

Этап 5.4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$V = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$

Этап 6

Подставим $\frac{y}{t}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{t} = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$

Этап 7

Решим $\frac{y}{t} = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части на $t$ .

$\frac{y}{t} t = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{t} t = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим $(- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{t^{2}}$ и $C$ .

$y = (- \frac{C}{t^{2}} + 1) t$

Этап 7.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{C}{t^{2}} t + 1 t$

Этап 7.2.2.1.3

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{C}{t^{2}}$ в числитель.

$y = \frac{- C}{t^{2}} t + 1 t$

Этап 7.2.2.1.3.2

Вынесем множитель $t$ из $t^{2}$ .

$y = \frac{- C}{t \cdot t} t + 1 t$

Этап 7.2.2.1.3.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{- C}{t \cdot t} t + 1 t$

Этап 7.2.2.1.3.4

Перепишем это выражение.

$y = \frac{- C}{t} + 1 t$

Этап 7.2.2.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.4.1

Умножим $t$ на $1$ .

$y = \frac{- C}{t} + t$

Этап 7.2.2.1.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{C}{t} + t$

Этап 7.2.2.1.4.3

Изменим порядок $- \frac{C}{t}$ и $t$ .

$y = t - \frac{C}{t}$