Математический анализ Примеры

$2 x^{2} y d x = (3 x^{3} + y^{3}) d y$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $(3 x^{3} + y^{3}) d y$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} y d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y]$

Этап 2.2

Поскольку $2 x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $2 x^{2} y$ по $y$ равна $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \cdot 1$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2}$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = - (3 x^{3} + y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 x^{3} + y^{3})]$

Этап 3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (3 x^{3} + y^{3})$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [3 x^{3} + y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 x^{3} + y^{3}]$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $3 x^{3} + y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Этап 3.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Этап 3.6

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Этап 3.7

Поскольку $y^{3}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (9 x^{2} + 0)$

Этап 3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Добавим $9 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (9 x^{2})$

Этап 3.8.2

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 9 x^{2}$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $2 x^{2}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 9 x^{2}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x^{2} = - 9 x^{2}$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$2 x^{2} = - 9 x^{2}$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 9 x^{2}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 9 x^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 5.2

Подставим $2 x^{2}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 9 x^{2} - (2 x^{2})}{M}$

Этап 5.3

Подставим $2 x^{2} y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $2 x^{2} y$ вместо $M$ .

$\frac{- 9 x^{2} - (2 x^{2})}{2 x^{2} y}$

Этап 5.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 9 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 9 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 9 - 1 \cdot 2 x^{2}}{2 x^{2} y}$

Этап 5.3.2.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 1 \cdot 2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 9 + x^{2} (- 1 \cdot 2)}{2 x^{2} y}$

Этап 5.3.2.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} \cdot - 9 + x^{2} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x^{2} (- 9 - 1 \cdot 2)}{2 x^{2} y}$

Этап 5.3.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x^{2} (- 9 - 2)}{2 x^{2} y}$

Этап 5.3.2.3

Вычтем $2$ из $- 9$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 11}{2 x^{2} y}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} \cdot - 11}{2 x^{2} y}$

Этап 5.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 11}{2 y}$

Этап 5.3.4

Подставим $2 x^{2} y$ вместо $M$ .

$- \frac{11}{2 y}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{11}{2 y} d y}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{11}{2 y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{11}{2 y} d y}$

Этап 6.2

Поскольку $\frac{11}{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{11}{2}$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{2} \int \frac{1}{y} d y)}$

Этап 6.3

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{2} (\ln (| y |) + C)}$

Этап 6.4

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{2} \ln (| y |)} + C$

Этап 6.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Умножим $- \frac{11}{2} \ln (| y |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Изменим порядок $\ln (| y |)$ и $\frac{11}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{2} \ln (| y |))} + C$

Этап 6.5.1.2

Упростим $\frac{11}{2} \ln (| y |)$ путем переноса $\frac{11}{2}$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| y |}^{\frac{11}{2}})} + C$

Этап 6.5.2

Упростим $- \ln ({| y |}^{\frac{11}{2}})$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| y |}^{\frac{11}{2}})}^{- 1})} + C$

Этап 6.5.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {({| y |}^{\frac{11}{2}})}^{- 1} + C$

Этап 6.5.4

Перемножим экспоненты в ${({| y |}^{\frac{11}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{11}{2} \cdot - 1} + C$

Этап 6.5.4.2

Умножим $\frac{11}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.2.1

Объединим $\frac{11}{2}$ и $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{11 \cdot - 1}{2}} + C$

Этап 6.5.4.2.2

Умножим $11$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{- 11}{2}} + C$

Этап 6.5.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$μ (x, y) = {| y |}^{- \frac{11}{2}} + C$

Этап 6.5.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{\frac{11}{2}}} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $2 x^{2} y d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $2 x^{2} y$ на $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$2 x^{2} y \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Этап 7.2

Умножим $2 x^{2} y \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$x^{2} y \frac{2}{y^{\frac{11}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Этап 7.2.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{2}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$y \frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Этап 7.2.3

Объединим $y$ и $\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$\frac{y (x^{2} \cdot 2)}{y^{\frac{11}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Этап 7.3

Перенесем $y^{1}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2}} y^{- 1}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Этап 7.4

Умножим $y^{\frac{11}{2}}$ на $y^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2} - 1}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Этап 7.4.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Этап 7.4.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Этап 7.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11 - 1 \cdot 2}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Этап 7.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11 - 2}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Этап 7.4.5.2

Вычтем $2$ из $11$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{9}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Этап 7.5

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Этап 7.6

Умножим $- (3 x^{3} + y^{3})$ на $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Этап 7.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + (- (3 x^{3}) - y^{3}) \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Этап 7.8

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + (- 3 x^{3} - y^{3}) \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Этап 7.9

Умножим $- 3 x^{3} - y^{3}$ на $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- 3 x^{3} - y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Этап 7.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- (3 x^{3}) - y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Этап 7.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{3}$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- (3 x^{3}) - (y^{3})}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Этап 7.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{3}) - (y^{3})$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- (3 x^{3} + y^{3})}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Этап 7.13

Перепишем $- (3 x^{3} + y^{3})$ в виде $- 1 (3 x^{3} + y^{3})$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- 1 (3 x^{3} + y^{3})}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Этап 7.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x$

Этап 9

Проинтегрируем $M (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Поскольку $\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} \int x^{2} d x$

Этап 9.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 9.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Перепишем $\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ в виде $\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 9.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Умножим $\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y^{\frac{9}{2}} \cdot 3} x^{3} + C$

Этап 9.3.2.2

Перенесем $3$ влево от $y^{\frac{9}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{3 \cdot y^{\frac{9}{2}}} x^{3} + C$

Этап 9.3.2.3

Умножим $3$ на $y^{\frac{9}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{3 y^{\frac{9}{2}}} x^{3} + C$

Этап 9.3.2.4

Объединим $\frac{2}{3 y^{\frac{9}{2}}}$ и $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + g (y)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Поскольку $\frac{2 x^{3}}{3}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}}$ по $y$ равна $\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{\frac{9}{2}}}]$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{\frac{9}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.2

Перепишем $\frac{1}{y^{\frac{9}{2}}}$ в виде ${(y^{\frac{9}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [{(y^{\frac{9}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{- 1}$ и $g (y) = y^{\frac{9}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- {(y^{\frac{9}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = \frac{9}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- {(y^{\frac{9}{2}})}^{- 2} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.5

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{9}{2}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{\frac{9}{2} \cdot - 2} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{\frac{9}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{\frac{9}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{9 \cdot - 1} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.5.3

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9 - 2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.9.2

Вычтем $2$ из $9$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{7}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.10

Объединим $\frac{9}{2}$ и $y^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} \frac{9 y^{\frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.11

Объединим $\frac{9 y^{\frac{7}{2}}}{2}$ и $y^{- 9}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{7}{2}} y^{- 9}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.12

Умножим $y^{\frac{7}{2}}$ на $y^{- 9}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.12.1

Перенесем $y^{- 9}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 (y^{- 9} y^{\frac{7}{2}})}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.12.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{- 9 + \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.12.3

Чтобы записать $- 9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{- 9 \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.12.4

Объединим $- 9$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.12.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{- 9 \cdot 2 + 7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.12.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.12.6.1

Умножим $- 9$ на $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{- 18 + 7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.12.6.2

Добавим $- 18$ и $7$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{- 11}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.12.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{- \frac{11}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.13

Перенесем $y^{- \frac{11}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9}{2 y^{\frac{11}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.14

Умножим $\frac{2 x^{3}}{3}$ на $\frac{9}{2 y^{\frac{11}{2}}}$ .

$- \frac{2 x^{3} \cdot 9}{3 (2 y^{\frac{11}{2}})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.15

Умножим $9$ на $2$ .

$- \frac{18 x^{3}}{3 (2 y^{\frac{11}{2}})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.16

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{18 x^{3}}{6 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.17

Вынесем множитель $6$ из $18 x^{3}$ .

$- \frac{6 (3 x^{3})}{6 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.18

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.18.1

Вынесем множитель $6$ из $6 y^{\frac{11}{2}}$ .

$- \frac{6 (3 x^{3})}{6 (y^{\frac{11}{2}})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.18.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{6 (3 x^{3})}{6 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.3.18.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3 x^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{3 x^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 12.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} - \frac{3 x^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Упростим $\frac{d g}{d y} - \frac{3 x^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} + \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 x^{3} + 3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

Этап 13.1.1.1.2

Добавим $- 3 x^{3}$ и $3 x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

Этап 13.1.1.1.3

Добавим $0$ и $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

Этап 13.1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.2.1

Перенесем $y^{3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11}{2}} y^{- 3}} = 0$

Этап 13.1.1.2.2

Умножим $y^{\frac{11}{2}}$ на $y^{- 3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.2.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11}{2} - 3}} = 0$

Этап 13.1.1.2.2.2

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}}} = 0$

Этап 13.1.1.2.2.3

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}}} = 0$

Этап 13.1.1.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11 - 3 \cdot 2}{2}}} = 0$

Этап 13.1.1.2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.2.2.5.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11 - 6}{2}}} = 0$

Этап 13.1.1.2.2.5.2

Вычтем $6$ из $11$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} = 0$

Этап 13.1.2

Вычтем $\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$

Этап 14

Найдем первообразную $- \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} d y$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} d y$

Этап 14.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - \int \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} d y$

Этап 14.4

Вынесем $y^{\frac{5}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$g (y) = - \int {(y^{\frac{5}{2}})}^{- 1} d y$

Этап 14.5

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - \int y^{\frac{5}{2} \cdot - 1} d y$

Этап 14.5.2

Умножим $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.2.1

Объединим $\frac{5}{2}$ и $- 1$ .

$g (y) = - \int y^{\frac{5 \cdot - 1}{2}} d y$

Этап 14.5.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$g (y) = - \int y^{\frac{- 5}{2}} d y$

Этап 14.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$g (y) = - \int y^{- \frac{5}{2}} d y$

Этап 14.6

По правилу степени интеграл $y^{- \frac{5}{2}}$ по $y$ имеет вид $- \frac{2}{3} y^{- \frac{3}{2}}$ .

$g (y) = - (- \frac{2}{3} y^{- \frac{3}{2}} + C)$

Этап 14.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.1.1

Объединим $y^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{2}{3}$ .

$g (y) = - (- \frac{y^{- \frac{3}{2}} \cdot 2}{3} + C)$

Этап 14.7.1.2

Перенесем $2$ влево от $y^{- \frac{3}{2}}$ .

$g (y) = - (- \frac{2 \cdot y^{- \frac{3}{2}}}{3} + C)$

Этап 14.7.1.3

Умножим $2$ на $y^{- \frac{3}{2}}$ .

$g (y) = - (- \frac{2 y^{- \frac{3}{2}}}{3} + C)$

Этап 14.7.1.4

Перенесем $y^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$g (y) = - (- \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C)$

Этап 14.7.2

Упростим.

$g (y) = - - \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 14.7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$g (y) = 1 \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 14.7.3.2

Умножим $\frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}}$ на $1$ .

$g (y) = \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = \frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C$