Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \log (e^{x})) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\sin (y) + y \cos (y)$ .

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x (2 \log (e^{x})) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $\sin (y) + y \cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{2 x \log (e^{x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Этап 1.2.1.2

Упростим $2 \log (e^{x})$ путем переноса $2$ под логарифм.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log ({(e^{x})}^{2}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Этап 1.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{x \cdot 2}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Этап 1.2.1.3.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{2 x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{2 x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = x \log (e^{2 x}) + 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$(\sin (y) + y \cos (y)) d y = (x \log (e^{2 x}) + 1) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \sin (y) + y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \sin (y) d y + \int y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\sin (y)$ по $y$ имеет вид $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} + \int y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Этап 2.2.3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = y$ и $d v = \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} + y \sin (y) - \int \sin (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\sin (y)$ по $y$ имеет вид $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} + y \sin (y) - (- \cos (y) + C_{2}) = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Упростим.

$- \cos (y) + y \sin (y) + \cos (y) + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Этап 2.2.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Добавим $- \cos (y)$ и $\cos (y)$ .

$y \sin (y) + 0 + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Этап 2.2.5.2.2

Добавим $y \sin (y)$ и $0$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем $x \log (e^{2 x}) + 1$ в виде $x (2 x \log (e)) + 1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int x (2 x \log (e)) + 1 d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y \sin (y) + C_{3} = \int x (2 x \log (e)) d x + \int d x$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 (x^{1} x) \log (e) d x + \int d x$

Этап 2.3.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 (x^{1} x^{1}) \log (e) d x + \int d x$

Этап 2.3.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 x^{1 + 1} \log (e) d x + \int d x$

Этап 2.3.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 x^{2} \log (e) d x + \int d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $2 \log (e)$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2 \log (e)$ из-под знака интеграла.

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) \int x^{2} d x + \int d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int d x$

Этап 2.3.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + x + C_{5}$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + x + C_{5}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{x^{3} \cdot 2 \log (e)}{3} + x + C_{6}$

Этап 2.3.7.3

Перенесем $2$ влево от $x^{3}$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{2 x^{3} \log (e)}{3} + x + C_{6}$

Этап 2.3.7.4

Изменим порядок членов.

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{2 \log (e)}{3} x^{3} + x + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y \sin (y) = \frac{2 \log (e)}{3} x^{3} + x + K$