Математический анализ Примеры

$(y + 2 x) d y + d x = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $1$ на $e^{2 y}$ .

$d x + (y + 2 x) d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = y + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 2 x]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $y + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.2.2

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \cdot 1$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2$

Этап 3.4

Добавим $0$ и $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = 2$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$0 = 2$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $2$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 5.2

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 + 0}{M}$

Этап 5.3

Подставим $1$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $1$ вместо $M$ .

$\frac{2 + 0}{1}$

Этап 5.3.2

Разделим $2 + 0$ на $1$ .

$2 + 0$

Этап 5.3.3

Подставим $1$ вместо $M$ .

$2$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d y}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int 2 d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$μ (x, y) = e^{2 y + C}$

Этап 6.2

Упростим.

$μ (x, y) = e^{2 y} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $d x + (y + 2 x) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $e^{2 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $1$ на $e^{2 y}$ .

$d x + (y + 2 x) d y = 0$

Этап 7.2

Умножим $y + 2 x$ на $e^{2 y}$ .

$d x + (y + 2 x) e^{2 y} d y = 0$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$d x + (y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}) d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{2 y} d x$

Этап 9

Проинтегрируем $M (x, y) = e^{2 y}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = e^{2 y} x + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + g (y)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x + g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $e^{2 y} x + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [e^{2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [e^{2 y} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $e^{2 y} x$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{2 y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Этап 12.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = e^{y}$ и $g (y) = 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Этап 12.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Этап 12.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 y$ .

$x (e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Этап 12.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Этап 12.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (e^{2 y} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Этап 12.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$x (e^{2 y} \cdot 2) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Этап 12.3.6

Перенесем $2$ влево от $e^{2 y}$ .

$x (2 \cdot e^{2 y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Этап 12.3.7

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$2 x e^{2 y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x e^{2 y} + \frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Этап 12.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + 2 e^{2 y} x = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Этап 12.5.2

Изменим порядок множителей в $\frac{d g}{d y} + 2 e^{2 y} x$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x e^{2 y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Вычтем $2 x e^{2 y}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y} - 2 x e^{2 y}$

Этап 13.1.2

Объединим противоположные члены в $y e^{2 y} + 2 x e^{2 y} - 2 x e^{2 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.1

Вычтем $2 x e^{2 y}$ из $2 x e^{2 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 0$

Этап 13.1.2.2

Добавим $y e^{2 y}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y}$

Этап 14

Найдем первообразную $y e^{2 y}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = y e^{2 y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y e^{2 y} d y$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y e^{2 y} d y$

Этап 14.3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = y$ и $d v = e^{2 y}$ .

$g (y) = y (\frac{1}{2} e^{2 y}) - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

Этап 14.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 y}$ .

$g (y) = y \frac{e^{2 y}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

Этап 14.4.2

Объединим $y$ и $\frac{e^{2 y}}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

Этап 14.5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 y} d y)$

Этап 14.6

Избавимся от скобок.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 y} d y$

Этап 14.7

Пусть $u = 2 y$ . Тогда $d u = 2 d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.1

Пусть $u = 2 y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.1.1

Дифференцируем $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Этап 14.7.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 14.7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 14.7.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 14.7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 14.8

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 14.9

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Этап 14.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.10.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Этап 14.10.2

Умножим $2$ на $2$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Этап 14.11

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Этап 14.12

Перепишем $\frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ в виде $\frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Этап 14.13

Заменим все вхождения $u$ на $2 y$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = e^{2 y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Этап 16

Упростим $f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y}{2} e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Этап 16.1.2

Объединим $\frac{y}{2}$ и $e^{2 y}$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Этап 16.1.3

Объединим $e^{2 y}$ и $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Этап 16.2

Вычтем $\frac{e^{2 y}}{4}$ из $e^{2 y} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Изменим порядок $e^{2 y}$ и $x$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + x e^{2 y} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Этап 16.2.2

Чтобы записать $x e^{2 y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + x e^{2 y} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Этап 16.2.3

Объединим $x e^{2 y}$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{x e^{2 y} \cdot 4}{4} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Этап 16.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{x e^{2 y} \cdot 4 - e^{2 y}}{4} + C$

Этап 16.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Перенесем $4$ влево от $x e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{4 \cdot (x e^{2 y}) - e^{2 y}}{4} + C$

Этап 16.3.2

Вынесем множитель $e^{2 y}$ из $4 x e^{2 y} - e^{2 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.2.1

Вынесем множитель $e^{2 y}$ из $4 x e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x) - e^{2 y}}{4} + C$

Этап 16.3.2.2

Вынесем множитель $e^{2 y}$ из $- e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x) + e^{2 y} \cdot - 1}{4} + C$

Этап 16.3.2.3

Вынесем множитель $e^{2 y}$ из $e^{2 y} (4 x) + e^{2 y} \cdot - 1$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Этап 16.4

Чтобы записать $\frac{y e^{2 y}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Этап 16.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.1

Умножим $\frac{y e^{2 y}}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Этап 16.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2}{4} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Этап 16.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2 + e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Этап 16.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.7.1

Вынесем множитель $e^{2 y}$ из $y e^{2 y} \cdot 2 + e^{2 y} (4 x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.7.1.1

Вынесем множитель $e^{2 y}$ из $y e^{2 y} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (y \cdot 2) + e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Этап 16.7.1.2

Вынесем множитель $e^{2 y}$ из $e^{2 y} (y \cdot 2) + e^{2 y} (4 x - 1)$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (y \cdot 2 + 4 x - 1)}{4} + C$

Этап 16.7.2

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (2 y + 4 x - 1)}{4} + C$