Математический анализ Примеры

$y (y^{3} - x) d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Этап 1

Запишем задачу в виде математического выражения.

$y (y^{3} - x) d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y (y^{3} - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (y^{3} - x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = y$ и $g (y) = y^{3} - x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [y^{3} - x] + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $y^{3} - x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x]) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- x]) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3.3

Поскольку $- x$ является константой относительно $y$ , производная $- x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (3 y^{2} + 0) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3.4

Добавим $3 y^{2}$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (3 y^{2}) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.4

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (y^{1} y^{2}) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{1 + 2} + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.6

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{3} + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{3} + (y^{3} - x) \cdot 1$

Этап 2.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Умножим $y^{3} - x$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{3} + y^{3} - x$

Этап 2.8.2

Добавим $3 y^{3}$ и $y^{3}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} - x$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x (y^{3} + x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (y^{3} + x)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y^{3} + x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [y^{3} + x] + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $y^{3} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]) + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2

Поскольку $y^{3}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (0 + \frac{d}{d x} [x]) + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x] + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (y^{3} + x) \cdot 1$

Этап 3.3.7

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Умножим $y^{3} + x$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + y^{3} + x$

Этап 3.3.7.2

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 2 x$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $4 y^{3} - x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $y^{3} + 2 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 y^{3} - x = y^{3} + 2 x$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$4 y^{3} - x = y^{3} + 2 x$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $y^{3} + 2 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 5.2

Подставим $4 y^{3} - x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - (4 y^{3} - x)}{M}$

Этап 5.3

Подставим $y (y^{3} - x)$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $y (y^{3} - x)$ вместо $M$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - (4 y^{3} - x)}{y (y^{3} - x)}$

Этап 5.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y^{3} + 2 x - (4 y^{3}) - - x}{y (y^{3} - x)}$

Этап 5.3.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - 4 y^{3} - - x}{y (y^{3} - x)}$

Этап 5.3.2.3

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - 4 y^{3} + 1 x}{y (y^{3} - x)}$

Этап 5.3.2.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - 4 y^{3} + x}{y (y^{3} - x)}$

Этап 5.3.2.4

Вычтем $4 y^{3}$ из $y^{3}$ .

$\frac{- 3 y^{3} + 2 x + x}{y (y^{3} - x)}$

Этап 5.3.2.5

Добавим $2 x$ и $x$ .

$\frac{- 3 y^{3} + 3 x}{y (y^{3} - x)}$

Этап 5.3.2.6

Вынесем множитель $3$ из $- 3 y^{3} + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 y^{3}$ .

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 x}{y (y^{3} - x)}$

Этап 5.3.2.6.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 (x)}{y (y^{3} - x)}$

Этап 5.3.2.6.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- y^{3}) + 3 (x)$ .

$\frac{3 (- y^{3} + x)}{y (y^{3} - x)}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $- y^{3} + x$ и $y^{3} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{3}$ .

$\frac{3 (- (y^{3}) + x)}{y (y^{3} - x)}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$\frac{3 (- (y^{3}) - 1 (- x))}{y (y^{3} - x)}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y^{3}) - 1 (- x)$ .

$\frac{3 (- (y^{3} - x))}{y (y^{3} - x)}$

Этап 5.3.3.4

Перепишем $- (y^{3} - x)$ в виде $- 1 (y^{3} - x)$ .

$\frac{3 (- 1 (y^{3} - x))}{y (y^{3} - x)}$

Этап 5.3.3.5

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- 1 (y^{3} - x))}{y (y^{3} - x)}$

Этап 5.3.3.6

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

Этап 5.3.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{- 3}{y}$

Этап 5.3.5

Подставим $y (y^{3} - x)$ вместо $M$ .

$- \frac{3}{y}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Этап 6.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Этап 6.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 6.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 6.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Этап 6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим $- 3 \ln (| y |)$ путем переноса $- 3$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Этап 6.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Этап 6.6.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $y (y^{3} - x) d x + x (y^{3} + x) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $y (y^{3} - x)$ на $\frac{1}{y^{3}}$ .

$y (y^{3} - x) \frac{1}{y^{3}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{3}$ .

$y (y^{3} - x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Этап 7.2.2

Сократим общий множитель.

$y (y^{3} - x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Этап 7.2.3

Перепишем это выражение.

$(y^{3} - x) \frac{1}{y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Этап 7.3

Умножим $y^{3} - x$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Этап 7.4

Умножим $x (y^{3} + x)$ на $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + x (y^{3} + x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Этап 7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + (x y^{3} + x \cdot x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Этап 7.6

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + (x y^{3} + x^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Этап 7.7

Умножим $x y^{3} + x^{2}$ на $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x y^{3} + x^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Этап 7.8

Вынесем множитель $x$ из $x y^{3} + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Вынесем множитель $x$ из $x y^{3}$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x (y^{3}) + x^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Этап 7.8.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x (y^{3}) + x \cdot x}{y^{3}} d y = 0$

Этап 7.8.3

Вынесем множитель $x$ из $x (y^{3}) + x \cdot x$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}} d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x$

Этап 9

Проинтегрируем $M (x, y) = \frac{y^{3} - x}{y^{2}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Поскольку $\frac{1}{y^{2}}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{y^{2}}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} \int y^{3} - x d x$

Этап 9.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (\int y^{3} d x + \int - x d x)$

Этап 9.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x + C + \int - x d x)$

Этап 9.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x + C - \int x d x)$

Этап 9.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Этап 9.6

Упростим.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.3.2

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}] + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.3.3

По правилу суммы производная $y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]$ .

$\frac{1}{y^{2}} (\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.3.4

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $y^{3} x$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.3.6

Поскольку $- \frac{x^{2}}{2}$ является константой относительно $y$ , производная $- \frac{x^{2}}{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.3.7

Перепишем $\frac{1}{y^{2}}$ в виде ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.3.8

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{- 1}$ и $g (y) = y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.3.8.3

Заменим все вхождения $u$ на $y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.3.10

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} (3 \cdot x y^{2} + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.3.11

Добавим $3 x y^{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{y^{2}} (3 x y^{2}) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.3.12

Объединим $3$ и $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{3}{y^{2}} (x y^{2}) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.3.13

Объединим $x$ и $\frac{3}{y^{2}}$ .

$\frac{x \cdot 3}{y^{2}} y^{2} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.3.14

Объединим $\frac{x \cdot 3}{y^{2}}$ и $y^{2}$ .

$\frac{x \cdot 3 y^{2}}{y^{2}} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.3.15

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{3 \cdot x y^{2}}{y^{2}} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.3.16

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.16.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x y^{2}}{y^{2}} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.3.16.2

Разделим $3 x$ на $1$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.3.17

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.17.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.3.17.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.3.18

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.3.19

Возведем $y$ в степень $1$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.3.20

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.3.21

Вычтем $4$ из $1$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{- 3}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + y^{3} x (- 2 \frac{1}{y^{3}}) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.3.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{y^{3}}$ .

$3 x + y^{3} x \frac{- 2}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 x + y^{3} x (- \frac{2}{y^{3}}) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.5.3.3

Объединим $y^{3}$ и $\frac{2}{y^{3}}$ .

$3 x + x (- \frac{y^{3} \cdot 2}{y^{3}}) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.5.3.4

Объединим $x$ и $\frac{y^{3} \cdot 2}{y^{3}}$ .

$3 x - \frac{x (y^{3} \cdot 2)}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.5.3.5

Перенесем $2$ влево от $y^{3}$ .

$3 x - \frac{x (2 \cdot y^{3})}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.5.3.6

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$3 x - \frac{2 \cdot x y^{3}}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.5.3.7

Сократим общий множитель $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.3.7.1

Сократим общий множитель.

$3 x - \frac{2 x y^{3}}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.5.3.7.2

Разделим $2 x$ на $1$ .

$3 x - (2 x) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.5.3.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 x - 2 x - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.5.3.9

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{y^{3}}$ .

$3 x - 2 x - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{- 2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.5.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 x - 2 x - \frac{x^{2}}{2} (- \frac{2}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.5.3.11

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 x - 2 x + 1 \frac{x^{2}}{2} \frac{2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.5.3.12

Умножим $\frac{x^{2}}{2}$ на $1$ .

$3 x - 2 x + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.5.3.13

Умножим $\frac{x^{2}}{2}$ на $\frac{2}{y^{3}}$ .

$3 x - 2 x + \frac{x^{2} \cdot 2}{2 y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.5.3.14

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$3 x - 2 x + \frac{2 \cdot x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.5.3.15

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.3.15.1

Сократим общий множитель.

$3 x - 2 x + \frac{2 x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.5.3.15.2

Перепишем это выражение.

$3 x - 2 x + \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.5.3.16

Вычтем $2 x$ из $3 x$ .

$x + \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 12.5.4

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2}}{y^{3}} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Вычтем $\frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2}}{y^{3}} - \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}} = 0$

Этап 13.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x (y^{3} + x)}{y^{3}} = 0$

Этап 13.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x y^{3} - x \cdot x}{y^{3}} = 0$

Этап 13.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x y^{3} - (x \cdot x)}{y^{3}} = 0$

Этап 13.1.3.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x y^{3} - x^{2}}{y^{3}} = 0$

Этап 13.1.4

Объединим противоположные члены в $x^{2} - x y^{3} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{3} + 0}{y^{3}} = 0$

Этап 13.1.4.2

Добавим $- x y^{3}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{3}}{y^{3}} = 0$

Этап 13.1.5

Сократим общий множитель $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{3}}{y^{3}} = 0$

Этап 13.1.5.2

Разделим $- x$ на $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x - x = 0$

Этап 13.1.6

Объединим противоположные члены в $\frac{d g}{d y} + x - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.6.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

Этап 13.1.6.2

Добавим $\frac{d g}{d y}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Этап 14

Найдем первообразную $0$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Этап 14.3

Интеграл $0$ по $y$ имеет вид $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Этап 14.4

Добавим $0$ и $C$ .

$g (y) = C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 16

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) + C$

Этап 16.2

Умножим $\frac{1}{y^{2}}$ на $y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}}{y^{2}} + C$

Этап 16.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Вынесем множитель $x$ из $y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $y^{3} x$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} - \frac{x^{2}}{2}}{y^{2}} + C$

Этап 16.3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x (- \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

Этап 16.3.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x y^{3} + x (- \frac{x}{2})$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} - \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

Этап 16.3.2

Чтобы записать $y^{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

Этап 16.3.3

Объединим $y^{3}$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x (\frac{y^{3} \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

Этап 16.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{x \frac{y^{3} \cdot 2 - x}{2}}{y^{2}} + C$

Этап 16.3.5

Перенесем $2$ влево от $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x \frac{2 y^{3} - x}{2}}{y^{2}} + C$

Этап 16.4

Объединим $x$ и $\frac{2 y^{3} - x}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{\frac{x (2 y^{3} - x)}{2}}{y^{2}} + C$

Этап 16.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (x, y) = \frac{x (2 y^{3} - x)}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C$

Этап 16.6

Объединим.

$f (x, y) = \frac{x (2 y^{3} - x) \cdot 1}{2 y^{2}} + C$

Этап 16.7

Умножим $x$ на $1$ .

$f (x, y) = \frac{x (2 y^{3} - x)}{2 y^{2}} + C$