Математический анализ Примеры

$e^{x} (y - 1) d x + 2 (e^{x} + 4) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $e^{x} (y - 1) d x$ из обеих частей уравнения.

$2 (e^{x} + 4) d y = - e^{x} (y - 1) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ .

$\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (2 (e^{x} + 4)) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Этап 3.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ .

$\frac{2}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $e^{x} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Этап 3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Этап 3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2}{y - 1} d y = - \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} (y - 1)) d x$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ в числитель.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} (y - 1)) d x$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $y - 1$ из $(e^{x} + 4) (y - 1)$ .

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} (e^{x} (y - 1)) d x$

Этап 3.5.3

Вынесем множитель $y - 1$ из $e^{x} (y - 1)$ .

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} ((y - 1) e^{x}) d x$

Этап 3.5.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} ((y - 1) e^{x}) d x$

Этап 3.5.5

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{e^{x} + 4} e^{x} d x$

Этап 3.6

Объединим $\frac{- 1}{e^{x} + 4}$ и $e^{x}$ .

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{y - 1} d y = - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{2}{y - 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Этап 4.2.2

Пусть $u_{1} = y - 1$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Пусть $u_{1} = y - 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Дифференцируем $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Этап 4.2.2.1.2

По правилу суммы производная $y - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 4.2.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 4.2.2.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.2.2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Этап 4.2.3

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Этап 4.2.4

Упростим.

$2 \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Этап 4.2.5

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y - 1$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Этап 4.3.2

Пусть $u_{2} = e^{x} + 4$ . Тогда $d u_{2} = e^{x} d x$ , следовательно $\frac{1}{e^{x}} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Пусть $u_{2} = e^{x} + 4$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Дифференцируем $e^{x} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]$

Этап 4.3.2.1.2

По правилу суммы производная $e^{x} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{x} + 0$

Этап 4.3.2.1.4.2

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$e^{x}$

Этап 4.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.3

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Этап 4.3.4

Упростим.

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 4.3.5

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{x} + 4$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \ln (| e^{x} + 4 |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$2 \ln (| y - 1 |) = - \ln (| e^{x} + 4 |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$2 \ln (| y - 1 |) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $2 \ln (| y - 1 |) + \ln (| e^{x} + 4 |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Упростим $2 \ln (| y - 1 |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln ({| y - 1 |}^{2}) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

Этап 5.2.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| y - 1 |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln ({(y - 1)}^{2}) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

Этап 5.2.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({(y - 1)}^{2} | e^{x} + 4 |) = C$

Этап 5.2.1.3

Изменим порядок множителей в $\ln ({(y - 1)}^{2} | e^{x} + 4 |)$ .

$\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2}) = C$

Этап 5.3

Развернем $\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем $\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2})$ в виде $\ln (| e^{x} + 4 |) + \ln ({(y - 1)}^{2})$ .

$\ln (| e^{x} + 4 |) + \ln ({(y - 1)}^{2})$

Этап 5.3.2

Развернем $\ln ({(y - 1)}^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1)$

Этап 5.4

Развернутое уравнение: $\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1) = C$ .

$\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1) = C$

Этап 5.5

Вычтем $\ln (| e^{x} + 4 |)$ из обеих частей уравнения.

$2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$

Этап 5.6

Разделим каждый член $2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Разделим каждый член $2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$ на $2$ .

$\frac{2 \ln (y - 1)}{2} = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Этап 5.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \ln (y - 1)}{2} = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Этап 5.6.2.1.2

Разделим $\ln (y - 1)$ на $1$ .

$\ln (y - 1) = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Этап 5.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (y - 1) = \frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Этап 5.7

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (y - 1)} = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Этап 5.8

Перепишем $\ln (y - 1) = \frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} = y - 1$

Этап 5.9

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Перепишем уравнение в виде $y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ .

$y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Этап 5.9.2

Упростим $e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 + e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Этап 5.9.2.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Этап 5.9.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y - 1 = e^{\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Этап 5.9.3

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = e^{\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Этап 5.9.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.2.1

Разобьем дробь $\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$ на две дроби.

$y = e^{\frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Этап 5.9.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Этап 6

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = e^{C - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Этап 6.2

Изменим порядок членов.

$y = e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2} + C} + 1$

Этап 6.3

Перепишем $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2} + C}$ в виде $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} e^{C}$ .

$y = e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} e^{C} + 1$

Этап 6.4

Изменим порядок $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ и $e^{C}$ .

$y = e^{C} e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$